北师版高考数学一轮总复习课后习题 第四章 一元函数的导数及其应用 课时规范练15.docVIP

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课时规范练15

《素养分级练》P302

基础巩固组

1.(上海青浦模拟)已知f(x)=af(

A.2 B.-2

C.2 D.-2

答案:A

解析:由f(x)=ax2+b,得f(x)=2af(a+Δx)-f(a)

2.(多选)(湖南娄底高三检测)下列求导运算错误的是()

A.1x+2=1(x+2

C.(2lnx)=1x

答案:ABC

解析:对于选项A,1x+2=0×(x+2)-(x+2)×1

3.(广东广州一模)曲线y=x3+1在点(-1,a)处的切线方程为()

A.y=3x+3 B.y=3x+1

C.y=-3x-1 D.y=-3x-3

答案:A

解析:因为y=f(x)=x3+1,所以f(x)=3x2,所以f(-1)=3,又当x=-1时,a=x3+1=-1+1=0,所以y=x3+1在点(-1,a)处的切线方程为y=3(x+1),即y=3x+3.

4.(广东珠海高三检测)吹气球时,气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的关系是V=43πr3.当V=4π

A.14πdm/L B.1

C.3L/dm D.4πL/dm

答案:A

解析:因为V=43πr3,所以r=334πV,所以r=34π?13×13V

5.若f(x+mx,曲线y=f(=()

A.1 B.2或1

C.-1或2 D.2

答案:B

解析:f(=2,根据导数的几何意义可得f(1)=2e1-m-me1-m+m=2,所以(e1-m-1)·(2-m)=0,所以e1-m-1=0或2-m=0,所以m=1或m=2.

6.(湖北襄阳模拟)过点P(1,2)作曲线C:y=4x的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为

A.2x+y-8=0 B.2x+y+4=0

C.2x+y-4=0 D.x+2y-4=0

答案:A

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),y=-4x2,所以在A点处的切线方程为y-y1=-4x12(x-x1),将P(1,2)代入得2-y1=-4x12(1-x1),因为y1=4x

7.(贵州遵义高三检测)若直线y=kx+b是曲线y=ex+1的切线,也是y=ex+2的切线,则k= ()

A.ln2 B.-ln2 C.2 D.-2

答案:C

解析:设直线y=kx+b与y=ex+2和y=ex+1的切点分别为(x1,ex1+2),(x2,ex2+1),则切线方程分别为y-(ex1+2)=ex1(x-x1),y-ex2+1=ex2+1(x-x2),化简得,y=ex1x+

8.(湖南衡阳高三检测)写出过点(2,1)与曲线y=x3+1相切的一条直线的方程:.?

答案:y=1或27x-y-53=0(写出其中一条即可)

解析:设切点为(x0,x03+1),因为y|x=

所以切线方程为y-(x03+1)=3x0

将点(2,1)代入得2x03-6x02=0,解得x

当x0=0时,切线方程为y=1;

当x0=3时,切线方程为27x-y-53=0.

9.(吉林长春高三检测)曲线f(x)=(x+1)ex+lnx在(1,a)处的切线与直线bx-y+2=0平行,则b-a=.?

答案:e+1

解析:由题意,函数f(x)=(x+1)ex+lnx,可得f(x)=(x+2)ex+1x

10.(山东威海三模)已知曲线C1:y=ex+x,C2:y=-x2+2x+a(a0),若有且只有一条直线同时与C1,C2都相切,则a=.?

答案:1

解析:设l与C1相切于P(x1,ex1+x1),与C2相切于点Q(x2,-x22+2x2+a),由C1:y=ex+x,得y=ex+1,则与C1相切于点P的切线方程为y-ex1-x1=(ex1+1)(x-x1),即y=x(1+ex1)-x1ex1+ex1,由C2:y=-x2+2x+a,y=-2x+2,则与C2相切于点P的切线方程为y+x22-2x2-a=(-2x2+2)(x-x2),即y=-2x2x+x22+2x+a,即y=x(2-2x2)+a+x22,因为两切线重合,所以,1+ex1=2-2x2①,ex1-x1ex

综合提升组

11.(河南郑州模拟)已知f(x)=2x3+(a-2)x2-3x是奇函数,则过点P(-1,2)向曲线y=f(x)可作的切线条数是()

A.1 B.2

C.3 D.不确定

答案:C

解析:因为函数f(x)是奇函数,则由f(-x)+f(x)=0得2(a-2)x2=0恒成立,则a=2,即有f(x)=2x3-3x,f(x)=6x2-3,设过点P(-1,2)向曲线y=f(x)所作切线与曲线y=f(x)相切的切点为Q(x0,2x03-3x0),而点P(-1,2)不在曲线y=f(x)上,则6x02-3=2x03-3x0-2x0+1,整理得