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椭圆中点差法的运用
1.如图，直线与椭圆交于两点，为弦的中点.
ABMxy设，
A
B
M
x
y
O由
O
化简可得：
结论1：椭圆上任意两点的纵坐标平方差与横坐标平方差之比为定值，即
由且，，
由结论一可得：
结论2：在椭圆中，弦中点，弦所在直线的斜率与知二求一，即
易知，由
结论3：在椭圆中，弦所在直线的斜率和弦中点与原点连线斜率之积为定值，即
以上结论只适用于焦点在轴上的椭圆，对于焦点在轴上的椭圆，只需把结论中的位置互换即可，后面的结论4—结论6也是如此
ABxyP2.如图，是椭圆上关于原点对称的两点，为椭圆上异于的点(且的斜率均存在)
A
B
x
y
P
设，，
易知，
，有结论1可知，（常考为长短轴端点）
结论4：椭圆上关于原点对称的两点与椭圆上第三点连线的斜率之乘积为定值，即
3.如图，点为椭圆上的点（不在轴上），直线为椭圆在点处的切线
在结论二中，当直线向外移动到与椭圆相切时，可理解为中点变成切点（极限思想）
xyP（可通过联立方程组，由得证）
x
y
P
直线：
化简可得：（切线斜率不存在时也满足该方程）
结论5：椭圆上一点处的切线方程为，斜率（存在时）
4.如图，过椭圆外一点引椭圆的两条切线，切点分别为，
由结论5可知，所在直线的方程为，所在直线的方程为
PxyAB由既在上，也在上，将代入两直线方程
P
x
y
A
B
得：且
上面的方程又可理解为均在直线上
所以切点弦所在直线方程为（直线系的理解）
结论6：过椭圆外一点引椭圆的两条切线，切点弦的方程为
注意：对于上述六个结论，选填可以直接用，大题需要有一定的证明过程
巩固练习
1.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（）
A． B． C． D．
2.已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标，则椭圆的离心率是（）
A． B． C． D．
3.中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦中点横坐标为，则椭圆方程为（）
A． B．
C． D．
4.已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标（）
A． B． C． D．
5．已知以为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）
A． B． C． D．
6.过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于
7.已知椭圆截直线所得线段的中点坐标为，则直线l的方程为
8.椭圆上点处的切线方程为
9.过引椭圆的两条切线，切点分别为，则所在直线方程为
10.过引椭圆的切线方程为
11.已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点
，线段的中点为．
证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值.
12.已知椭圆．
（1）求过点且被点平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为2的直线与椭圆相交所得的弦的中点的轨迹．
（3）过点引直线与椭圆交于两点，求截得的弦中点的轨迹方程．
13.已知椭圆，过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点．
证明：是直角三角形.
14.已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称．
参考答案
1-5DCDCC6.7.8.
9.10.或
11.点差法进行证明，注意焦点位置
12.（1）（2）（）（3）
13.利用结论4进行证明
14.
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