考研数学(三303)研究生考试试题及解答参考(2025年).docxVIP

2025年研究生考试考研数学(三303)复习试题(答案在后面)

一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）

1、若函数fx=lnx+

A.?

B.[

C.[

D.?

2、设函数fx=x2?

A.2

B.1

C.0

D.不存在

3、设函数fx=e

A.x

B.x

C.x

D.无极值点

4、设函数fx=12ln

A.奇函数

B.偶函数

C.非奇非偶函数

D.无法确定

5、设函数fx=x3?

A.f

B.f

C.f

D.f

6、设函数fx=x

A.2

B.1

C.4

D.2

7、设函数fx=sinxx

A.1

B.0

C.∞

D.无极限

8、设函数fx=1

A.0

B.1

C.1

D.1

9、已知函数fx=1x2

A.?

B.1

C.0

D.不存在

10、设函数fx=x3?

A.1

B.2

C.3

D.4

二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）

1、设函数fx=

2、设函数fx=exx2

3、设函数fx=e2x

解析与答案：

首先我们需要求解给定函数在指定点的导数值。根据导数定义，我们计算fx在x=0

我们先求fx的导数f′x，然后将x=0

函数fx=e2x

3、设函数fx=e2x

4、设函数fx=ln

5、设随机变量X服从参数为λ=2的泊松分布，则P

6、设函数fx=x3

三、解答题（本大题有7小题，每小题10分，共70分）

第一题

题目：设函数fx在区间0,

以及对于任意的x∈0

试求fx

解答：

给定条件为：

f

首先，我们对等式1关于x求导。为此，我们需要使用到Leibniz积分法则来处理含有x作为积分上限的情况。设F

则根据Leibniz积分法则，F

因此，对1式两边关于x求导得：

f

再次对2式关于x求导，得到f

这是一个二阶非齐次线性微分方程。其对应的齐次方程是f

其特征方程为r

解得r=±

为了找到非齐次方程的一个特解，我们可以尝试形式为yp=Ax

从而直接得出A=0

结合齐次解与特解，原方程的通解为f

接下来，利用初始条件01fxdx=

C1sinx

由于没有额外的信息来独立确定C1和C2，但注意到题目条件已经足够让我们知道当选择合适的C1和C2使得上式成立时，

f

这就是说，在给定条件下，函数fx的表达式为f

第二题

已知函数fx=e2xsinx在区间0

（1）求fx在区间0

（2）求函数fx

第三题

题目：设函数fx在区间?1,1上连续，在区间?1,1内可导，并且满足f?1=0,f

解答：

要证明fc=1在?

给定fx在?1,1上连续，在?1,1内可导，并且f?1=0

由题目条件知，fx在?1,1区间上的取值范围至少从0变化到2。根据中间值定理，如果一个函数在一个闭区间上连续，并且在这区间两端点的函数值不同，则在该区间内至少存在一点c，使得函数值为该区间两端点函数值之间的任意值。因此，由于f?1=

证明完毕。

第四题

已知函数fx=1x+lnx（x0），设函数f

（1）求点P的坐标x0

（2）证明：对任意x0，都有

第五题

题目描述：

设函数fx在区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，且满足fa=fb

解题过程：

为了证明上述结论，我们考虑构造辅助函数gx，使得gx的性质能帮助我们找到满足条件的点

设gx=eλxfx

g

由于fa=fb=0，故

根据罗尔定理，存在ξ∈a,

e

因为eλξ不等于

f

这正是我们要证明的结论。

第六题

已知函数fx=ex2，且f

（1）gx在[

（2）g′

试求gx

第七题

已知函数fx=x

（1）求函数fx

（2）求函数fx

（3）求函数fx

（4）分析函数fx

2025年研究生考试考研数学(三303)复习试题及解答参考

一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）

1、若函数fx=lnx+

A.?

B.[

C.[

D.?

答案：A

解析：函数fx=lnx+1?x包含两个部分：lnx+1和x。对于lnx+1，其定义域要求x+1

2、设函数fx=x2?

A.2

B.1

C.0

D.不存在

答案：A

解析：首先对函数fx进行简化，有fx=x2?1x?1=x+1x?1

3、设函数fx=e

A.x

B.x

C.x

D.无极值点

答案：B

解析：首先求fx的一阶导数f′x=e

由于ex始终大于cosx（当x≠kπ，其中k为整数时），因此f

又因为f′0=1?0=10且

由于f′x在x0左侧为正，在x0右侧为负，因此fx在x0处取得极大值。所以x=π

4、设函数fx=12ln

A.奇函数

B.偶函数

C.非奇非偶函数

D.无法确定

答案：B

解析：要判断函数fx的奇偶性，需要验证f?x是否等于f

计算f?

f

由于f?x=

5、设函数fx=x3?

A.f

B.f

C.f

D.f

答案：C

解析：首