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数列的极限与收敛性

数列是数学中的一种常见概念，它由一系列有序的数字组成。在数

学中，研究数列的极限与收敛性是非常重要的。本文将讨论数列的极

限以及数列的收敛性，并通过例子来说明这些概念。

一、数列的极限

数列的极限是指数列中的元素随着下标的增大或减小而逐渐趋于某

个常数或无穷大的现象。在数学中，我们用符号lim来表示数列的极限。

若数列{an}的极限为A，我们可以用以下方式表示：

lim(n→∞)an=A

其中n→∞表示下标n趋于无穷大。

数列的极限可以分为有界收敛和无界发散两种情况。

1.1有界收敛

若数列{an}的极限存在，并且存在一个有限数M，使得对于数列

中的每个元素a(n)，都有|a(n)|≤M成立，那么我们称该数列是有界收

敛的。

1.2无界发散

若数列{an}的极限不存在，并且对于任意的正数M，存在某个下

标N，使得当nN时，|a(n)|M成立，那么我们称该数列是无界发

散的。

二、数列的收敛性

数列的收敛性是指数列是否趋于一个极限。根据极限的存在与否，

数列可以分为收敛数列和发散数列。

2.1收敛数列

若数列{an}的极限存在，并且该极限是一个有限数，那么我们称

该数列是收敛数列。

2.2发散数列

若数列{an}的极限不存在，或者极限是无穷大，那么我们称该数

列是发散数列。

三、数列极限的性质

数列的极限有以下性质：

3.1极限的唯一性

若数列{an}收敛，那么它只能有一个极限。

3.2保号性

若数列{an}收敛到A，且A0，那么对于足够大的n，有a(n)0；

同理，若A0，那么对于足够大的n，有a(n)0。

3.3极限的四则运算

若数列{an}和{bn}都收敛到A和B，则有以下性质成立：

a)lim(n→∞)(an+bn)=lim(n→∞)an+lim(n→∞)bn=A+B

b)lim(n→∞)(an-bn)=lim(n→∞)an-lim(n→∞)bn=A-B

c)lim(n→∞)(an*bn)=lim(n→∞)an*lim(n→∞)bn=A*B

d)lim(n→∞)(an/bn)=(lim(n→∞)an)/(lim(n→∞)bn)=A/B(若B

≠0)

四、数列极限的例子

下面通过一些具体的数列来说明极限的概念。

4.1递增有界数列的极限

考虑数列{an}，其中a(n+1)=a(n)+1，且a(1)=1。这个数列是递

增的，并且有界，因为对于任意的n，都有a(n)≤n。因此，根据数学

定理，可以得出该数列的极限为正无穷大，即lim(n→∞)an=+∞。

4.2递减无界数列的极限

考虑数列{an}，其中a(n+1)=a(n)-1，且a(1)=100。这个数列是

递减的，并且无界，因为对于任意的M，都存在一个下标N，使得当

nN时，|a(n)|M。因此，根据数学定理，可以得出该数列的极限不

存在，即lim(n→∞)an不存在。

总结：

数列的极限与收敛性是数学中的重要概念，它们被广泛应用于各个

领域。通过研究数列的极限与收敛性，我们可以深入理解数列的变化

规律，并在实际问题中应用这些概念来解决数学难题。无论是有界收

敛还是无界发散，数列都蕴含着丰富的信息，帮助我们更好地理解数

学世界中的变化与趋势。