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2023-2024学年沪教版数学八年级上册章节知识讲练
知识点01:几何证明
1.命题和证明
(1)命题
定义:判断一件事情的句子.
判断为正确的命题,叫做真命题;
判断为错误的命题,叫做假命题.
(2)演绎证明(简称证明)
从已知的概念、条件出发,依据已被确认的事实和公认的逻辑规则,推导出某结论为正确的过程.
易错点拨:
命题通常由题设、结论两部分组成,题设是已知的事项,结论是由已知事项推出的事项,可以写成
“如果……那么……”的形式,“如果”开始的部分是题设,“那么”开始的部分是结论.
2.公理和定理
(1)公理:人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理,它们可以作为判断其他命题真假的原
始依据.
(2)定理:从公理或其他真命题出发,用推理方法证明为正确的,并能进一步作为判断其他命题真
假的依据,这样的真命题叫做定理.
3.逆命题与逆定理
(1)在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个
命题的题设,则这两个命题叫互逆命题.其中一个命题叫原命题;另一个命题叫它的逆命题.
(2)如果一个定理的逆命题经过证明也是定理,则这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫另一个的
逆定理.
4.证明真命题的一般步骤
(1)理解题意,分清命题的条件(已知)、结论(求证)
(2)根据题意,画出图形,并在图中标出必要的字母或符号
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”
(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”)
(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰的写出证明过程
(6)检查表达过程是否正确、完善
易错点拨:
(1)一个命题(定理)的逆命题(逆定理)并不是唯一的,这是因为一个命题的题设中可能有两个或多个
条件,结论也可能不止一个;
(2)逆命题的真假与原命题的真假没有关系.
知识点02:线段的垂直平分线和角的平分线
1.线段的垂直平分线
(1)线段垂直平分线的定义
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.
(2)线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
如图:∵MN垂直平分线段ABM
∴PA=PBP
AB
N
(3)线段垂直平分线的性质定理的逆定理
和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
易错点拨:
线段的垂直平分线定理与逆定理往往与边相等、角相等的证明密切相关,它提供了证明边、角相等
的又一种重要的方法,在以后的学习中还会与直角三角形、角平分线、勾股定理等连在一起综合应用.
2.角的平分线
(1)角的平分线的定义:一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.
(2)角的平分线有下面的性质定理:
①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
②到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.A
D
如图:∵OP平分∠AOB,
P
PD⊥OA,PE⊥OB,
O
∴PD=PE.EB
3.垂线的性质
性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
性质2:直线外
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