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第二节定积分的计算1
例1设求解例2设求解例3设求解和复合而成
例4设求解
变上限求导总结(1)上限被积函数在上限处的值(2)上限被积函数在上限处的值乘以上限的导数(3)下限变交换上下限加负号再求导(4)上下限变利用区间可加性拆开再求导
例5求极限解例6求由方程所确定的隐函数的导数.解方程两边作为的函数同时求导所以
二.牛顿—莱布尼兹公式定理6.2如果在上连续,是在上的一个原函数,则证因所以令则所以再令得
例6求解例7求解原式
例8,求设解
计算解注这是错误的,因为定理要求连续.
三.定积分的换元积分法第一类换元积分(凑微分)法具体做题步骤:证
例9求解令解注不写出新变量时,积分限不换!
第二类换元积分法具体做题步骤:证
例10求解原式令则当时当时
例11求解原式令则当时当时
例12证明证令则当时当时故
定积分等式的证明(2)作变量替换:看两端积分限或被积函数令(1)将某一端改换自变量符号(3)如果两端积分限均为:则令则令则令(4)定积分是常数及定积分与积分变量符号无关常被应用
补例若是定义在内周期为的连续函数,证明证令则当时当时故
例13(奇偶函数在对称区间上的积分)设在上连续,求证:(1)如果为奇函数,则(2)如果为偶函数,则证令则当时当时故命题成立.
例14求解原式
例15求解原式
例16设在内连续,若求解令
四.定积分的分部积分法定理6.4如果及在上导函数连续则证因所以则故
例17求解原式
例18求解原式
(2003年考研真题4分)补充例题解
例19求解原式故原式
设与在上的导数连续,且证明:对任意有(2005年考研真题8分)补充例题证左边
例20求解令则
例21设连续,且已知求的值.解令则当时时故故
故上式两端对求导,得即令得即
例22设连续,且求的值.解令则当时时故故上式两端对求导,得
上式两端对求导,得即令得即
例23设且在上可导,证明:存在使证明:作辅助函数则故在
上满足罗尔定理,存在使而存在使故
设与在上连续,且满足证明:(2004年考研真题8分)证明:
故
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