专题4.2 角的旋转问题（压轴题专项讲练）（人教版）（解析版）.pdfVIP

专题4.2角的旋转问题

【典例1】已知如图1，∠AOB=40°

1

(1)若∠AOC=∠BOC，则∠BOC=;

3

(2)如图2，∠AOC=20°，OM为∠AOB内部的一条射线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，

求4∠AON+∠COM的值；

(3)如图3，∠AOC=20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转

过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+

∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．

【思路点拨】

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（1）分两种情况讨论：①OC在∠AOB内部时，由∠AOC=∠BOC得到∠BOC=∠AOB；②OC在∠AOB外部

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时，由∠AOC=∠BOC得到∠BOC=∠AOB．

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（2）设∠CON=x°，根据题意用x表示有关角的度数，最终得4∠AON+∠COM的值；

（3）按OM和ON的不同位置分五种情况分别讨论，记OM转过的角度为α，第一种情况：当0＜α≤60°，

即0＜t≤12时；第二种情况：当60°＜α≤180°时，即12＜t≤36时；第三种情况：当180°＜α≤240°时，即36＜

t≤48时；第四种情况：当240°＜α≤340°，即48＜t≤68时；第五种情况：当340°＜α≤360°，即68＜t≤72

时．用t表示出有关角的度数，再求4∠AON+∠BOM的最后结果．

【解题过程】

解：（1）分两种情况讨论：①C在∠AOB内部时，如下图，

1

∵∠AOC=∠BOC，

3

3

∴∠BOC=∠AOB=×40°=30°，

4

②OC在∠AOB外部时，如下图，

1

∠AOC=∠BOC，

3

33

∴∠BOC=∠AOB=×40°=60°，

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综上所述：∠BOC=30°或60°；

故答案为：30°或60°．

（2）

证明：设∠AON=x°，

则∠CON=（20-x）°，

∠NOM=3∠CON=(60-3x）°，

∠COM=(80-4x）°，

所以4∠AON+∠COM=80°．

（3）记OM的旋转角度为α，分五种情况讨论：

第一种，当0°＜α≤60°，即0＜t≤12时，如下图，

射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转得∠MOB=5t°，

∴∠COM=∠COA+∠AOB-∠MOB=60°-5t°，

∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，

1

∴∠CON=∠COM，

4

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∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA-∠COM=20°-（60°-5t°）=5°+t°，

444

5

∴4∠AON+∠BOM=4（5°+t°）+5t°=20°+10t°，

4

∴0≤t≤12时，4∠AON+∠BOM=20°+