应用随机过程第三次作业.pdf

《应用随机过程》第三次作业

问题一：

假设,t≥0为布朗运动，ℱ,t≥0为该布朗运动的σ代数流。证明(−。

问题二：

考虑一个在整数上的随机游动模型,每一步的行走用随机变量ξ来表示，设向右

()()

移动的概率为p1/2，向左的概率为1−p。即：Pξ=1=p, Pξ=−1=

1−p。记n步后的位置为S，即：S=+∑ξ，其中S0为常数，表示初

始位置。令T表示随机游走第一次到达0或者N的时刻，即：T=inf {n: S=0

或者 N}。提示：σ-代数流就当作F=,,…,)。

(1)证明：M=为鞅

(2)证明：T为停时

()()

(3)利用鞅的停时定理，求PS=0和PS=N

(4)证明Y≔+(1−2为鞅

()

(5)计算ET

问题三：

假设ξ,,=1,2,,...,=1,2,....是独立同分布的随机变量，有有限的二阶矩，分

别记为µ=E(ξ,),σ=ξ,)。Galton-Watsonbranching过程为：

Z:=1,Z:=ξ

,

该过程的σ代数流为≔σZ:0≤j≤n,=0,1,2,...

证明M:=Z,=1,2,....是鞅。

()

问题四：假设,t≥0为布朗运动, 的方差σ=9，如果0=10，求

P(0.5)10)。

()()()

问题五：假设B和B(t)为两独立的标准布朗运动，证明 X≔+也

为布朗运动。