第4章+第4讲+第2课时+利用导数解决不等式恒(能)成立问题2024高考数学一轮复习+PPT（新教材）.pptxVIP

第4讲导数与函数的综合应用

第2课时利用导数解决不等式恒(能)成立问题;2;;解(1)f′(x)＝(x－3)ex－3－x＋3＝(x－3)(ex－3－1)，

当x3时，x－30，ex－3－10，∴f′(x)0，

当x3时，x－30，ex－3－10，∴f′(x)0，

当x＝3时，f′(x)＝0，所以当x∈R时，f′(x)≥0，即f(x)在R上是增函数；

又f(3)＝0，所以不等式f(x)0的解集为(3，＋∞)．

(2)证明：当a＝1时，g(x)＝ex＋cosx，g′(x)＝ex－sinx.由x0，得ex1，sinx∈[－1,1]，

则g′(x)＝ex－sinx0，即g(x)在(0，＋∞)上为增函数．故g(x)g(0)＝2，即g(x)2.;解;解;求解不等式恒成立问题的方法

(1)构造函数分类讨论：遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x)或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论．

(2)分离参数法：分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式v(x)的不等式后，若a≥v(x)在x∈D上恒成立，则a≥v(x)max；若a≤v(x)在x∈D上恒成立，则a≤v(x)min.;1．(2021·湖北宜昌诊断)已知函数f(x)＝xlnx，若对于所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围．;当x≥1时，因为g′(x)≥0，

故g(x)在[1，＋∞)上单调递增．

所以g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝1.

故实数a的取值范围是(－∞，1]．

解法二：(构造函数法)

当x＝1时，有f(1)≥a－1，即a－1≤0，得a≤1.

令F(x)＝f(x)－(ax－1)＝xlnx－ax＋1，

原命题等价于F(x)≥0在x≥1时恒成立?F(x)min≥0，x∈[1，＋∞)．

由于F′(x)＝lnx＋1－a≥0在x∈[1，＋∞)上恒成立，因此函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以F(x)min＝F(1)＝1－a≥0，得a≤1.

故实数a的取值范围是(－∞，1]．;;解;解;解;解;

1．不等式能成立问题的解题关键点

2．由不等式能成立求参数范围的常见题型

(1)存在x∈[a，b]，f(x)≥m成立?f(x)max≥m.

(2)存在x∈[a，b]，f(x)≤m成立?f(x)min≤m.;解;解;;解;解;解;双参数不等式问题的求解方法

一般采用等价转???法：

(1)?x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)g(x2)?f(x)在[a，b]上的最小值g(x)在[c，d]上的最大值．

(2)?x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)g(x2)?f(x)在[a，b]上的最大值g(x)在[c，d]上的最小值．

(3)?x1∈[a，b]，?x2∈[c，d]，f(x1)g(x2)?f(x)在[a，b]上的最小值g(x)在[c，d]上的最小值．

(4)?x1∈[a，b]，?x2∈[c，d]，f(x1)g(x2)?f(x)在[a，b]上的最大值g(x)在[c，d]上的最大值．;解因为f(x)＝(x－1)ex＋1＋mx2，

所以f′(x)＝ex＋1＋(x－1)ex＋1＋2mx＝x(ex＋1＋2m)，

因为0m≤6，ex＋10，所以ex＋1＋2m0，所以当x0时，f′(x)0；当x0时，f′(x)0.

故f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝－e.;解;;解;答题启示

设而不求解题法就是在解决数学问题时，设定一些未知数，不需要求出未知数，而是根据题目本身的特点，将未知数消去或代换，使问题的解决变得简捷、明快．;解(1)∵f(x)＝a(1－x)ex，∴f′(x)＝－axex，

a0时，令f′(x)0，解得x0，令f′(x)0，解得x0，

故f(x)在(－∞，0)单调递增，在(0，＋∞)单调递减．

a0时，令f′(x)0，解得x0，令f′(x)0，解得x0，故f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．

综上，当a0时，f(x)在(－∞，0)单调递增，在(0，＋∞)单调递减，

当a0时，f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．;解;[借助ex≥x＋1和lnx≤x－1进行放缩或同构变形]

2．(2021·哈尔滨八校联考)设m∈R，函数f(x)＝e2x－ln(2x－m)．

(1)若x＝0是f(x)的极值点，求实数m的值，并讨论f(x)的单调性；