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矩阵基础泰山在线科技有限公司矩阵基础矩阵的秩与初等变换矩阵的转置和逆正交矩阵齐次空间几何应用仿射变换欧拉角四元数主要内容矩阵称为F上矩阵,简写:设F是数域,用F的元素排成的m行n列的数表矩阵的秩定义矩阵A用初等行变换化成的阶梯形矩阵中主元的个数称为矩阵A的秩，记为秩(A)或。性质(1)秩(A)=0当且仅当A=0(2)秩()≤min{m,n}(3)初等行变换不改变矩阵的秩。初等矩阵定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。矩阵的转置设把矩阵的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵的转置矩阵,记为或转置有下面的性质:矩阵的逆定义A为F上n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=I称A为可逆矩阵（非奇异矩阵），B称为A的逆矩阵.①A可逆，则A的逆矩阵唯一。性质④A可逆，则②A可逆，则可逆，且③A，B可逆，则AB也可逆，且.正交矩阵定义:设V是一个向量空间，?1,?2,…,?m是V的一组基，若满足：1）?1,?2,…,?m两两相互正交2）||?j||=1,j=1,2,…,m则称?1,?2,…,?m是向量空间V的一组标准正交基.正交矩阵定义：设A是一个n阶方阵，若ATA=En则称A为一个n阶正交矩阵。1.A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的转置矩阵是一个正交矩阵。2.A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的n个列向量构成了Rn的一个标准正交基.3.若A是一个正交矩阵，则|A|2=1正交矩阵定义:设V是Rn的一个非平凡的子空间,??Rn，若在V中存在某向量?，使得?-?与V中任何一个向量皆正交，则称?为向量?在向量空间V中的正交投影向量。齐次空间仿射变换x’y’z’1xyz1=P’=TP100tx010ty001tz0001x’y’z’1sx0000sy0000sz00001xyz1=P’=SP仿射变换x’y’z’1cosa0sina00100-sina0cosa00001xyz1=P’=RyPx’y’z’110000cosa-sina00sinacosa00001xyz1=P’=RxP绕Y轴旋转绕X轴旋转x’y’z’1cosa-sina00sinacosa0000100001xyz1=P’=RzP绕Z轴旋转仿射变换一般仿射变换①平移使旋转轴过原点T②绕X轴旋转使旋转轴落到XZ平面Rx③绕Y轴旋转使旋转轴与Z轴重合Ry④绕Z轴旋转指定角?(Rz(?))⑤Ry-1⑥Rx-1⑦T-1M=T-1.Rx-1.Ry-1.Rz(?).Ry.Rx.T欧拉角定义：用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成，为欧拉首先提出而得名。欧拉角三个欧拉角对应的齐次旋转矩阵为欧拉角欧拉角在应用中的缺点：1.用欧拉角难以建立任意的朝向2.在插值朝向时会带来问题四元数四元数的定义:四元数可表示矢量和物体的旋转，并没有冗余信息，它提供了一种比旋转矩阵更为有效的方法。在计算机图形学和计算机动面领域中表示物体的旋转和朝向方面尤为便利。设Q是实数域上的四维向量空间，其正交基底(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，l，0)，(0，0，0，1)分别用e,i,j,k表示四元数即e作为乘法单位元，而i，j，k按i-j-k-i的次序，相邻两单位元按箭头顺序相乘等于第三单位元，与箭头顺序反方向相乘