专题2.14相似三角形的性质与判定综合问题大题专练（培优强化30题）-2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 【苏科版】（解析版）.docxVIP

2025-2025学年九班级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】

专题2.14相像三角形的性质与判定综合问题大题专练（培优强化30题）

一、解答题

1．（2025·江苏·九班级专题练习）如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D、D′分别在边BC、B′C′上，且

【答案】见解析．

【分析】依据相像三角形的判定定理证明即可．

【详解】解：若选①BDCD

证明：∵△ACD∽△A

∴∠ADC=∠A′D

∴∠ADB=∠A

∵BDCD

∴BDB

∴ADA

又∠ADB=∠A

∴△ABD∽△A

选择②BACD=B

若选③∠BAD=∠B

证明：∵△ACD∽△A

∴∠ADC=A′D

又∵∠BAD=∠B

∴△ABD∽△A

【点睛】本题考查相像三角形的判定定理，解题的关键是把握相像三角形的判定方法．

2．（2025·江苏扬州·一模）如图，已知点P、Q分别是矩形ABCD中AB、CD边上的动点（不与点A、B、C、D重合），PE∥BQ交AQ于点E，连接PQ．AB＝8，BC＝6，设△PEQ的面积为S．

(1)当点P运动到AP＝2时，无论点Q运动到CD边的何处，S＝_____；

(2)在点P、Q的运动过程中，

①若S＝458，求AP

②求S的最大值．

【答案】(1)4.5

(2)①3或5；②6

【分析】（1）由题意易得AP∶AB=1∶4，△ABQ的面积为24，则有△APQ的面积为6，然后通过平行线所截线段成比例可得AE∶AQ=1∶4，进而问题可求解；

（2）①设APAB=t，则有APPB=t1?t，由（1）可得S△APQ

(1)

解：∵四边形ABCD是矩形，且AB＝8，BC＝6，

∴S△ABQ

∵AP＝2，

∴AP∶AB=1∶4，

∴S△APQ

∵PE∥BQ，

∴AEEQ

∴EQAQ

∴S=3

故答案为4.5；

(2)

解：①设APAB=t，则有APPB=t

∴S=1?t

∵S＝458

∴24t1?t

解得：t1

当t=58时，则AP=5；当t=3

综上所述：当S＝458时，AP=5

②由①可知：S=24t1?t

∴S=?24t?

∵-24＜0，

∴当t=12时，

【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例、面积问题及二次函数的性质，娴熟把握平行线所截线段成比例、面积问题及二次函数的性质是解题的关键．

3．（2025·江苏·海安市南莫中学九班级期中）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．

（1）求证：AE=BC；

（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0°α144°)得到△AEF，连接CE，BF，求证：

（3）若在（2）的旋转过程中CE∥AB，则相应的旋转角

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）36°或72°．

【分析】（1）依据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案；

（2）由旋转的性质可知：∠E

（3）分别依据①当点E与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，②当点E与点N重合时，求出α即可．

【详解】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠ABC＝∠C＝72°，

又∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE＝36°，

∴∠BEC＝180°﹣∠C﹣∠CBE＝72°，

∴∠ABE＝∠A，∠BEC＝∠C，

∴AE＝BE，BE＝BC，

∴AE＝BC．

（2）证明：∵AC＝AB且EF∥

∴AF

∴AE＝AF；

由旋转的性质可知：∠E

∵在△CAE′和

{AC=AB

∴△CAE

∴CE

（3）由（1）可知AE＝BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，

如图：①当点E与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，

∴∠BAM＝∠ABC＝72°，又∠BAC＝36°，

∴α＝∠CAM＝36°．

②当点E与点N重合时，

由AB∥l得，∠AMN＝∠

∵AM＝AN，

∴∠ANM＝∠AMN＝72°，

∴∠MAN＝180°﹣2×72°＝36°，

∴α＝∠CAN＝∠CAM+∠MAN＝72°．

∴旋转角为36°或72°．

【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质，平行线分线段成比例，数形结合的运用，娴熟把握相关性质与定理是解本题关键．

4．（2025·江苏无锡·八班级期中）如图，已知△ABC，AP平分∠BAC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．

（1）作菱形AMPN，使点M，N分别在边AB、AC上，并依据你的作法证明你的结论；

（2）若∠C=90°，AB=8，BP=4，求（1）中所作菱形AMPN的面积．

【答案】（1）见解析；（2）36

【分析】（1）作线段AP的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，连接PM、PN得四