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2023-2024学年广东省肇庆市德庆县香山中学高三下-第一次考试数学试题试卷
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知,,,,.若实数,满足不等式组,则目标函数()
A.有最大值,无最小值 B.有最大值,有最小值
C.无最大值,有最小值 D.无最大值,无最小值
2.在正方体中,点、分别为、的中点,过点作平面使平面,平面若直线平面,则的值为()
A. B. C. D.
3.若点(2,k)到直线5x-12y+6=0的距离是4,则k的值是()
A.1 B.-3 C.1或 D.-3或
4.一个袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为,则()
A., B.,
C., D.,
5.已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1是实数,则实数a等于()
A. B. C.- D.-
6.双曲线的右焦点为,过点且与轴垂直的直线交两渐近线于两点,与双曲线的其中一个交点为,若,且,则该双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
7.已知是偶函数,在上单调递减,,则的解集是
A. B.
C. D.
8.函数的部分图像如图所示,若,点的坐标为,若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称,则的最小值为()
A. B. C. D.
9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A. B.3 C. D.4
10.已知集合,,且、都是全集(为实数集)的子集,则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为()
A. B.或
C. D.
11.设i为数单位,为z的共轭复数,若,则()
A. B. C. D.
12.已知函数,满足对任意的实数,都有成立,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知,,,的夹角为30°,,则_________.
14.展开式中,含项的系数为______.
15.在平面五边形中,,,,且.将五边形沿对角线折起,使平面与平面所成的二面角为,则沿对角线折起后所得几何体的外接球的表面积是______.
16.若,,则___________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,在直棱柱中,底面为菱形,,,与相交于点,与相交于点.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.
18.(12分)已知等腰梯形中(如图1),,,为线段的中点,、为线段上的点,,现将四边形沿折起(如图2)
(1)求证:平面;
(2)在图2中,若,求直线与平面所成角的正弦值.
19.(12分)已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,且曲线的左焦点在直线上.
(Ⅰ)求的极坐标方程和曲线的参数方程;
(Ⅱ)求曲线的内接矩形的周长的最大值.
20.(12分)的内角的对边分别为,若
(1)求角的大小
(2)若,求的周长
21.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,为椭圆上一动点(异于左右顶点),面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆相交于点两点,问轴上是否存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.
22.(10分)已知函数,函数.
(Ⅰ)判断函数的单调性;
(Ⅱ)若时,对任意,不等式恒成立,求实数的最小值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
判断直线与纵轴交点的位置,画出可行解域,即可判断出目标函数的最值情况.
【详解】
由,,所以可得.
,
所以由,因此该直线在纵轴的截距为正,但是斜率有两种可能,因此可行解域如下图所示:
由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值.
故选:B
【点睛】
本题考查了目标函数最值是否存在问题,考查了数形结合思想,考查了不等式的性质应用.
2、B
【解析】
作出图形,设平面分别交、于点、,连接、、,取的中点,连接、,连接交于点,推导出,由线面平行的性质定理可得出,可得出点为的中点,同理可得出点为的中点,结合中位线的性质可求得的值.
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