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1-
勾股定理
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,每个小正方形的边长为1,△ABC的三边a,b,c的大小关系是()
A.acb B.abc
C.cab D.cba
2.(2013·南京中考)设边长为3的正方形的对角线长为a,下列关于a的四种说法:①a是无理数;②a可以用数轴上的一个点来表示;③3a4;④a是18的算术平方根.其中,全部正确说法的序号是()
A.①④ B.②③
C.①②④ D.①③④
3.如图中的螺旋由一系列直角三角形组成,则第n个三角形的面积为()
A.n B.n
C.n2 D.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图所示,数轴上点A所表示的数为a,则a的值是.
5.(2013·吉林中考)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-6,0),(0,8).以点A为圆心,以AB长为半径画弧,交x正半轴于点C,则点C的坐标为.
6.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”.只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为5的线段条.
三、解答题(共26分)
7.(8分)在同始终角坐标系中分别描出点A(-3,0),B(2,0),C(1,3),再用线段将这三点首尾顺次连接起来,求△ABC的面积与周长.
8.(8分)如图所示,在有24个边长为1的小正三角形的网格中,点P是正六边形的一个顶点,以点P为直角顶点作格点直角三角形,(即顶点均在格点上的三角形),请你写出全部可能的直角三角形斜边的长.
【拓展延长】
9.(10分)勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,其中蕴含着丰富的科学学问和人文价值.如图所示,是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按肯定规律长成的勾股树,树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1,其次个正方形和其次个直角三角形的面积之和为S2,…,第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn.设第一个正方形的边长为1.
请解答下列问题:
(1)S1=.
(2)通过探究,用含n的式子表示Sn,则Sn=.
答案解析
1.【解析】选C.∵AC=42+32=5=25,BC=42
∴bac,即cab.
2.【解析】选C.由勾股定理得,正方形的对角线长为a=32+32=18=3
3.【解析】选D.依据勾股定理:
在第一个三角形中:OA12=1+1,S1=1×1÷2
在其次个三角形中:OA22=O
S2=OA1×1÷2=1+1×1÷2.
在第三个三角形中:OA32=O
S3=OA2×1÷2=1+1+1×1÷2;
…
在第n个三角形中:Sn=n×1÷2=n2
4.【解析】图中的直角三角形的两直角边为1和2,所以斜边长为12+22=5,所以-1到点A的距离是
答案:5-1
5.【解析】∵点A,B的坐标分别为(-6,0),(0,8),∴AO=6,BO=8,
∴AB=AO
∵以点A为圆心,以AB长为半径画弧,
∴AB=AC=10,∴OC=AC-AO=4,
∵交x正半轴于点C,∴点C的坐标为(4,0).
答案:(4,0)
6.【解析】如图,由于每个小正方形的边长都为1,那么依据勾股定理简单得到长度为5的线段,然后可以找出全部这样的线段.如图,全部长度为5的线段全部画出,共有8条.
答案:8
7.【解析】如图,利用勾股定理得,AC=32+42=5,BC=12
AB=2-(-3)=5,
∴△ABC的周长为AC+BC+AB=5+10+5=10+10,面积为12×5×3=152
8.【解析】通过作图知,以点P为直角的三角形有八种状况,如图,△PCB,△PCA,△PDB,△PDA,△PCB,△PCA,△PDB,△PDA,均是以点P为直角的直角三角形,且△PCB≌△PCB,△PCA≌△PCA,△PDB≌△PDB,△PDA≌△PDA,故:
在Rt△PCB中,BC=PC2+P
在Rt△PCA中,AC=PC2+PA2
在Rt△PDB中,BD=PD2+PB2
在Rt△PDA中,AD=PD2+P
故全部可能的直角三角形斜边的长为4,2,7,13.
9.【解析】(1)∵第一个正方形的边长为1,
∴正方形的面积为1,
又∵直角三角形一个角为30°,
∴三角形的一条直角边为12,另一条直角边就是12-
∴三角形的面积为12×32÷2=38,∴S1=1+
(2)∵其次个正方形的边长为32,它的面积就是34,也就是第一个正方形面积的
同理,其次个三角形的面积也是第一个三角形的面积的34
∴S2=1+38·34,依此类推,S3=1+38·34·3
所以Sn=1+38
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