北师版高考理科数学一轮总复习课后习题 解答题专项3 数列.docVIP

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解答题专项三数列

解答题专项练

1.(浙江,20)已知等差数列{an}的首项a1=-1,公差d1.记{an}的前n项和为Sn(n∈N+).

(1)若S4-2a2a3+6=0,求Sn;

(2)若对于每个n∈N+,存在实数cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,求d的取值范围.

解:(1)数列{an}是首项a1=-1的等差数列且d1.

∵S4-2a2a3+6=0,

∴4a1+4×32d-2(a1+d)(a1

把a=-1代入得-4d2+12d=0,

解得d=3或d=0(舍去),

∴Sn=na1+n(n-

(2)∵对每个n∈N+,存在实数cn使得an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,

∴(an+1+4cn)2=(an+cn)(an+2+15cn),

an+12+8an+1cn+16cn2=anan+2+an+2cn+15anc

cn2+(8an+1-an+2-15an)cn+an+12-a

而8an+1-an+2-15an=8(a1+nd)-[a1+(n+1)d]-15[a1+(n-1)d]=8a1+8nd-a1-(n+1)d-15a1-15(n-1)d=-8a1+(8n-n-1-15n+15)d=8+(14-8n)d,

an+12-an·an+2=(an+d)2-an(an+2d)=d2,∴cn2+[8+(14-8n)d]c

对此式,Δ=[8+(14-8n)d]2-4d2≥0,

[8+(14-8n)d+2d][8+(14-8n)d-2d]=[(16-8n)d+8][(12-8n)d+8]≥0,

[(2-n)d+1][(3-2n)d+2]≥0,

n=1时,显然成立;

n=2时,-d+2≥0,d≤2;

n≥3时,原式=[(n-2)d-1][(2n-3)d-2]0恒成立.

∴1d≤2,∴d的取值范围是(1,2].

2.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列Snn是首项为12,公差为1

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若bn=[lgan],求数列{bn}的前2021项的和.

解:(1)数列Snn是首项为12,公差为1

所以Snn=12+(n-1)×1

当n=1时,a1=S1=12

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2

又a1=12

所以an=n2

(2)由(1)得bn=[lgan]=lgn2,

当n=1时,-1lga10;

当n=2,3,4,…,19时,0≤lgan1;

当n=20,21,22,…,199时,1≤lgan2;

当n=200,201,202,…,1999时,2≤lgan3;

当n=,,…,时,3≤lgan4.

故数列{bn}的前项和为[lga1]+[lga2]+[lga3]+…+[lga]=-1+0×18+1×180+2×1800+3×22=3845.

3.(河南郑州一模)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),前n项和为Sn,现给出下列三个条件:①S1,S2,S4成等比数列;②S4=16;③S8=4(a8+1).请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.

(1)求{an}的通项公式;

(2)若bn-bn-1=4an(n≥2),且b1=3,求数列1bn的前n项和T

解:(1)由①S1,S2,S4成等比数列可得S22=S1·S4,即(2a1+d)2=a1·(4a1+6d),解得d=2a

由②S4=16可得S4=4a1+6d=16,即2a1+3d=8,

由③S8=4(a8+1)可得8a1+8×72d=4(a1+7d+1),可得a1

若选①②,由d=2a1,2a

若选①③,由d=2a1,a1

若选②③,由2a1+3d=8,a

综上所述,{an}的通项公式为an=2n-1.

(2)由(1)知an=2n-1,

所以bn-bn-1=4(2n-1)=8n-4,

所以b2-b1=12,b3-b2=20,b4-b3=28,b5-b4=36,…,bn-bn-1=8n-4,

以上各式累加可得bn-b1=12+20+28+…+8n-4=(n-1

因为b1=3,

所以bn=4n2-1(n≥2),且b1=3也满足上式,

所以bn=4n2-1.

所以1bn

所以Tn=121-13+13-15+15-1

4.已知等比数列{an}的公比为λ(λ1),a1=1,数列{bn}满足bn+1-bn=an+1-λ,b1=1λ

(1)求数列{bn}的通项公式;

(2)规定:[x]表示不超过x的最大整数,如[-1.2]=-2,[2.1]=2.若λ=2,cn=1bn+2n-2,记Tn=c1+c2+c3+…+cn

解:(1)由题意得an=λn-1(λ1),则bn+1-bn=λn-λ(λ1),当n≥2时,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…