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专题2.11实数章末十二大题型总结(拔尖篇)
【北师大版】
TOC\o1-3\h\u
【题型1算术平方根的双重非负性】 1
【题型2无理数的估算】 3
【题型3探究平方根和立方根的规律】 6
【题型4利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】 9
【题型5与实数运算有关的规律问题】 13
【题型6程序框图中的实数运算】 16
【题型7新定义中的实数运算】 19
【题型8实数运算的应用】 24
【题型9二次根式双重非负性的运用】 29
【题型10复合二次根式的化简】 31
【题型11二次根式的运算与求值技巧】 35
【题型12利用分母有理化求值】 37
【题型1算术平方根的双重非负性】
【例1】(2025春·浙江温州·八班级校联考期中)若a?2025+b+2025=2,其中a,b均为整数,则a+b=.
【答案】0,2,4
【分析】先依据确定值和算术平方根的非负性分三种状况进行争辩得出a,b的值,再代入进行计算即可求解
【详解】解:∵a?2025+b+2025=2,其中a
又∵|a?2025|≥0,b+2025
①当|a?2025|=0,b+2025=2
∴a=2025,b=?2018
∴a+b
②当|a?2025|=1,b+2025=1
∴a=2025或a=2025,b=?2025
∴a+b=2025?2025
③当|a?2025|=2,b+2025=0
∴a=2025或a=2020,b=?2025
∴a+b=2025?2025=2或
故答案为:4或2或0
【点睛】本题考查了确定值和算术平方根的非负性,得出a、b可能的取值是解决此题的关键,留意分类争辩的数学思想.
【变式1-1】(2025春·安徽芜湖·八班级统考期中)已知实数a满足2000?a+a?2001=a,那么a?
A.1999 B.2000 C.2001 D.2002
【答案】C
【分析】依据确定值性质与算术平方根的性质先化简,进而平方即可得到答案
【详解】解:∵a?2001≥0,
∴a即2000?a0,
∴2000?a+a?2001=a?2000+a?2001
即a?2001=2000
∴a?20012=2000
∴a?2000
故选:C.
【点睛】本题考查代数式求值,涉及到确定值性质与算术平方根的性质,依据条件逐步恒等变形到所求代数式是解决问题的关键.
【变式1-2】(2025春·新疆乌鲁木齐·八班级新疆师范高校附属中学校考期中)已知a,b为实数,且1+a?(b?1)1?b=0
【答案】-2
【分析】由已知条件得到1+a?(b?1)1?b=0,利用二次根式有意义的条件得到1-b≥0,再依据几个非负数和的性质得到1+a=0,1-b=0,解得a
【详解】解:∵1+a?(b?1)
∴1+a+
∵1-b≥0,
∴1+a=0,1-b=0,
解得a=-1,b=1,
∴a2015-b2016
=(-1)2015-12016
=-1-1
=-2.
【点睛】本题考查了非负数的性质及求代数式的值、有理数的乘方运算,娴熟把握运算法则是解题关键.
【变式1-3】(2025春·内蒙古呼和浩特·八班级校联考期中)若m满足关系式3x+5y?2?m+2x+3y?m=199?x?y?
【答案】201
【分析】依据能开平方的数肯定是非负数,得199-x-y≥0,x-199+y≥0,所以199-x-y=x-199+y=0,即x+y=199①,从而有3x+5y?2?m+
【详解】解:由题意可得,199-x-y≥0,x-199+y≥0,
∴199-x-y=x-199+y=0,∴x+y=199①.
∴3x+5y?2?m+
∴3x+5y-2-m=0②,2x+3y-m=0③,
联立①②③得,x+y=199①3x+5y?2?m=0②
②×2-③×3得,y=4-m,
将y=4-m代入③,解得x=2m-6,
将x=2m-6,y=4-m代入①得,2m-6+4-m=199,解得m=201.
故答案为:201.
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性以及方程组的解法,把握几个非负数的和为0时,这几个非负数都为0是解题的关键.
【题型2无理数的估算】
【例2】(2025春·内蒙古呼和浩特·八班级统考期末)如图所示,数轴上点P所表示的数可能是(????)
A.30 B.13 C.10 D.8
【答案】B
【分析】依据数轴上的点处于3.5和4之间,即12.25和16之间,逐一判定比较即可.
【详解】解:设点P表示的数为x,
得72
∴494
∴12.25x
∵304
∴A选项不符合题意,
∵12.25
∴选项B符合题意,
∵10
∴C选项不符合题意,
∵8
∴D选项不
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