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上海市杨浦区复旦附中2024-2025学年高一数学下学期期中试题(含解析)
一.填空题
1.一个面积为1的扇形,所对弧长也为1,则该扇形的圆心角是________弧度
【答案】
【解析】
【分析】
设扇形的所在圆的半径为,圆心角为,应用扇形的弧长公式和面积公式,列出方程组,即可求解.
【详解】设扇形的所在圆的半径为,圆心角为,
因为扇形的面积为1,弧长也为1,
可得,即,解得.
故答案为:
【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用,其中解答中娴熟应用扇形的弧长公式和面积公式,列出方程组是解答的关键,着重考查了运算与求解实力.
2.计算________
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式和两角差的正弦公式,即可得到答案;
【详解】原式,
故答案为:.
【点睛】本题考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用,考查转化与化归思想,考查运算求解实力.
3.函数,的反函数记为,则________
【答案】
【解析】
【分析】
点在原函数的图象上,依据题意两函数图象关于直线对称知点在反函数的图象上,得解.
【详解】因为当时,,所以点在原函数的图象上,
因为是函数,的反函数,
所以点在反函数的图象上,则.
故答案为:
【点睛】本题考查两个互为反函数的函数图象的对称性、正弦函数的图象与性质,属于基础题.
4.在△中,若,,,则________
【答案】
【解析】
【分析】
干脆利用正弦定理,结合三角形解的个数判定,即可得到答案;
【详解】,
,,
,
故答案为:.
【点睛】本题考查正弦定理\三角形解的个数,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理实力、运算求解实力.
5.已知等比数列中,,,则________
【答案】16
【解析】
【分析】
将等比数列的通项公式代入,中,可得,再求的值。
【详解】,,,
,
故答案为:.
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量运算,考查运算求解实力,求解时留意广义通项公式的应用.
6.已知等差数列,若,则________
【答案】
【解析】
【分析】
依据等差中项可得,从而得到,利用诱导公式,即可得答案;
【详解】,,
,
故答案为:.
【点睛】本题考查等差中项诱导公式的应用,考查逻辑推理实力、运算求解实力.
7.已知数列中,,,则=___
【答案】
【解析】
分析】
对已有的递推关系取倒数,则可构建新数列,它是等差数列,求出其通项后可求的通项.
【详解】因为,所以,
所以,故是以为首项,为公差的的等差数列,
所以,所以,填.
【点睛】给定数列的递推关系,我们常须要对其做变形构建新数列(新数列的通项简单求得),常见的递推关系和变形方法如下:
(1),取倒数变形为;
(2),变形为,也可以变形为;
8.把函数的图像向右平移()个单位,使得点成为图像的一个对称中心,则的最小值是________
【答案】
【解析】
【分析】
依据平移变换可得平移后的解析式为,将点的坐标代入该解析式可得,,从而可得的最小值为.
【详解】把函数的图像向右平移()个单位,
可得,
依题意可得点在函数的图象上,
所以,即,
所以,,
即,,
因为,所以时,取得最小值.
故答案为:
【点睛】本题考查了函数图象的平移变换,考查了函图象数的对称中心,属于基础题.
9.函数()的最小值为________
【答案】
【解析】
【分析】
设,得到,且,得出函数,再利用换元法,令,得出函数,求得函数的最小值,即可求解.
【详解】设,
则,可得,
又由,
所以函数,,
令,则,且,
所以,
因为,则,
所以的最小值为,
即函数的最小值为.
故答案为:.
【点睛】本题考查了三角函数的基本关系式,三角函数的图象与性质综合应用,以及函数最值的求解,着重考查了推理与运算实力,属于中档试题.
10.正整数列满意,且对于有,若,则的全部可能取值为________
【答案】4、5或32
【解析】
【分析】
由正整数列满意,且对于有,结合,逐步逆推即可得解.
【详解】解:因为正整数列满意,且对于有,
由,
则或(舍),
则,
则,,或,,或,,,
即的全部可能取值为4、5或32,
故答案为:4、5或32.
【点睛】本题考查了数列的递推关系,重点考查了运算实力,属基础题.
11.定义在上的奇函数满意对随意成立,则值域为________
【答案】
【解析】
【分析】
先由三角恒等变换可得对随意成立,即定义在上的奇函数满意当时,,然后结合重要不等式及函数的奇偶性求值域即可.
【详解】解:由,
则对随意成立,
令,
则,
即定义在上的奇函数满意当时,,
又当时,,即,
又函数为定义在上的奇函数,则,
且当时,,
综上可得值域为,
即值域为,
故答案为:.
【点睛】本题考查了三角函数的万能公式,重点考查了函数奇偶性的应用,属基础
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