北师版高考理科数学一轮总复习课 课时规范练34 基本不等式.docVIP

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课时规范练34基本不等式

基础巩固组

1.函数y=ex+e-x(x∈R)的最小值是()

A.1 B.2

C.3 D.4

答案:B

解析:因为ex0,e-x0,所以y=ex+e-x≥2ex·e-x=2,当且仅当ex=e-x,即x=0时,取等号,所以函数y=ex

2.已知函数y=x+4x

A.42 B.42+1

C.5 D.9

答案:C

解析:因为x1,所以y=x+4x-1=(x-1)+4x-

3.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=p(p

A.10 B.12

C.14 D.16

答案:B

解析:由题意,a+b=10,c=6,p=a+b+c2

所以S=8(

4.已知函数f(x)=me,n,不等式1m

A.9 B.3+22

C.7 D.42

答案:A

解析:由函数的图像过定点(2,1),可得m+n=1,又因为m0,n0,

所以1m+4n=(m+n)×1m+4n=5+nm

所以A≤9,即A的最大值为9.

5.(河北石家庄月考)若不等式(x+y)1x+a

A.2 B.3

C.4 D.9

答案:C

解析:因为x0,y0,a0,所以(x+y)1x+ay=1+a+yx+axy≥1+a+2a,当且仅当yx=ax

故a≤-4(舍去)或a≥2,得a≥4,则正实数a的最小值是4.故选C.

6.(江苏淮安期中)若任意,则实数m的取值范围为.?

答案:(-∞,12]

解析:由题意可知,x∈(0,+∞),所以4x2+9x=4x+

7.已知函数f(x)=3x+a3x+1的最小值为5

答案:16

解析:因为函数f(x)=3x+a3

因为3x+11,所以f(x)=3x+a3x+1=3x+1+a3x+1-1≥2(3x+1)×a3x+1

8.若实数a,b满足2a2+2b2=1,则1a2+

答案:6

解析:实数a,b满足2a2+2b2=1,即a2+b2=12,所以a2+(b2+1)=3

则1a2+4b2+1=23×[a2+(b2+1)]1a2+4b2+1=23×1+4+b

故1a

9.若4xy0,则y4x-y

答案:5

解析:因为4xy0,所以4x-y0,

则y4x-y+x

即当3y=4x时,等号成立,

所以y4x-y

综合提升组

10.(安徽马鞍山三模)若a0,b0,lga+lgb=lg(a+3b),则a+b的最小值为()

A.43 B.4+23

C.6 D.3+33

答案:B

解析:由lga+lgb=lg(a+3b),得lg(ab)=lg(a+3b),所以ab=a+3b.

因为a0,b0,所以3a+1b=1,所以(a+b)3a+1b=4+3ba+ab≥4+2

11.新冠病毒疫情期间,某灾区物资紧缺,一批口罩、食物等救灾物资随41辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达灾区.已知两地公路线长360km,为安全起见,两辆汽车的间距不得小于v2

A.70km/h B.80km/h

C.90km/h D.100km/h

答案:C

解析:由题意,第一辆汽车到达用360vh,最后一辆汽车到达的时间为360+40×v2

要使这批物资尽快全部到达灾区,即就是最后一辆汽车到达的时间最短,

即求360v+2v45最小时汽车的速度,360v

12.已知a0,b0,向量m=(a+2b,-9),n=(8,ab),若m⊥n,则2a+b的最小值为()

A.9 B.8

C.54

答案:B

解析:由题意m·n=8(a+2b)-9ab=0,

又a0,b0,所以8(

所以2a+b=8(a+2b)(2a+b)9ab=8(2

所以2a+b的最小值为8.

13.若正实数a,b满足a+b=ab,则a+ba+64

答案:15

解析:由题设知1+ba=b,即b

∴a+ba+64ab=a+b-1+

当且仅当a+b=ab=8时,等号成立.

故a+ba+64

创新应用组

14.已知x0,y0,且x+2y=2x+1

答案:[8,+∞)

解析:∵x+2y=2x

∴x+2y-7=2x+1y,∴(x+2y-7)(x+2y)=

∵x0,y0,∴2x+1y(x+2y)=4yx

当且仅当x=2y时,等号成立,

设t=x+2y,则t0,(t-7)t≥8,即t2-7t-8≥0,

即(t+1)(t-8)≥0,解得t≥8或t≤-1(舍去),∴x+2y的取值范围是[8,+∞).