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课时规范练17定积分与微积分基本定理
基础巩固组
1.计算定积分12
A.32 B.52 C.9
答案:B
解析:122x-1x2dx=x2|12+
2.一物体在力F(x)=4处,则力F(x)所做的功为()
A.16J B.14J C.12J D.10J
答案:B
解析:根据定积分的物理意义,力F(x)所做的功为13(4x-1)dx=(2x2-x)|
3.(宁夏石嘴山三中模拟)设函数f(x)=lgx,
A.±1 B.1 C.0 D.3
答案:B
解析:∵f(1)=lg1=0,
∴f(f(1))=f(0)=0+0a3t2dt=t30
∴a=1,故选B.
4.(黑龙江哈尔滨三中模拟)设a=-π2π2cosxdx,则二项式1x
A.-80 B.40 C.10 D.-10
答案:B
解析:a=-π2π2cosxdx=sinπ2-sin-π2=2,故1x-ax5=1x-2x5,所求项的系数为C5
5.(吉林长春模拟)02(x2-2x)dx=
答案:-4
解析:02(x2-2x)dx=13x3?02-x2?02=
6.(安徽滁州二模)设f(x)=ex,则01[f(x)+2x]dx=
答案:e
解析:因为f(x)=ex,所以01[f(x)+2x]dx=(ex+x2)|
7.若曲线y=x与直线2,则正实数m=.?
答案:4
解析:由定积分的几何意义可得m2=0mxdx=23
8.在平面直角坐标系中,已知直线l:y=2与抛物线C:y=12x2交于A,B两点,则直线与抛物线C所围成的封闭图形的面积为
答案:16
解析:联立y=2,
所以弦AB与抛物线C所围成的封闭图形的面积为-222-12x2dx=2x-16x3?-2
综合提升组
9.如图,设直线y=1与y轴交于点A,与曲线y=x3交于点B,O为原点,记线段OA,AB及曲线y=x3围成的区域为Ω,在Ω内随机取一个点P,已知点P取在△OAB内的概率等于23
A.13 B.14 C.1
答案:B
解析:联立y=1,y=x3,解得x=1,y=1,则区域Ω的面积为
∵在Ω内随机取一个点P,点P取在△OAB内的概率等于23,∴点P取在阴影部分的概率等于1-23=13
10.物体A以速度v=3t2+1(t的单位:s,v的单位:m/s)在一直线上运动,在此直线上,物体A出发的同时,物体B在物体A的正前方5m处以v=10t(t的单位:s,v的单位:m/s)的速度与A同向运动,则两物体相遇时物体A运动的距离为m.?
答案:130
解析:设t=a时两物体相遇,
依题意0a(3t2+1)dt-0a10tdt=5,即a3+a-5a2=5,(a-5)(a
所以05(3t2+1)dt=53
故两物体相遇时物体A运动的距离为130m.
11.函数的图像f(x)=x+4,-4≤x0,
答案:12
解析:由题意可得,围成的封闭图形的面积为S=-40(x+4)dx+0π24cosxdx=12x
创新应用组
12.已知函数f(x)=ex,过点(1,0)作曲线f(x)的切线l,则直线l与曲线f(x)及y轴围成的图形的面积为.?
答案:e2-1
解析:由f(x)=ex,过点(1,0)作曲线f(x)的切线l,设切点为(x0,ex
则斜率k=ex0,所以切线l的方程为y-ex
因为切线过点(1,0),则-ex0=ex
所以切线l的方程为y=e2x-e2,直线l与曲线y=f(x)及y轴围成的图形的面积为02[ex-(e2x-e2)]dx=ex-12e2x2-e2x?02=e2-1.
13.-[x+ln(x+1+x2)]dx=
答案:0
解析:因为y=x为奇函数,所以-xdx=0,设g(x)=ln(x+1+x2),其定义域为R,且g(-x)=ln[-x+1+(-x)
所以g(x)=ln(x+1+x
所以-[ln(x+1+x
所以-[x+ln(x+1+x
=-xdx+-[ln(x+1+x
14.直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.
解:如图所示,抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0,x2=1,
所以抛物线与x轴所围图形的面积S=01(x-x2)dx=x22-13x
又因为y=x
由此可得,抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x3=0,x4=1-k(0k1),
所以S2=01-k(x-x
又知S=16
所以(1-k)3=12
于是k=1-312=1-
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