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对数运算法则

必备知识基础练

1.已知a0,a≠1,xy0,n∈N+,下列各式:

①(logax)n=nlogax;②logax=-loga;③=loga;④logax;⑤logax=loga;⑥logax=loxn;⑦loga=-loga.

其中成立的有()

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

答案B

解析其中②⑤⑥⑦正确.①式中nlogax=logaxn;③式中loga=logax-logay;④式中logax=loga.

2.等于()

A.lg3 B.-lg3

C. D.-

答案C

解析原式=lo+lo=log94+log35=log32+log35=log310=.

3.(多选题)(2020山东临沂高三期末)若10a=4,10b=25,则下列结论正确的是()

A.a+b=2 B.b-a=1

C.ab8lg22 D.b-alg6

答案ACD

解析由10a=4,10b=25,得a=lg4,b=lg25,

∴a+b=lg4+lg25=lg100=2,

∴b-a=lg25-lg4=lg.

∵lglg6,∴b-alg6.

∴ab=4lg2lg54lg2lg4=8lg22.

4.计算:2+lg4+2lg5-eln3=.?

答案2

解析原式=(33+(lg4+lg25)-eln3=3+2-3=2.

5.若a=log43,则2a+2-a=,+1=.?

答案log312

解析∵a=log43=log2,

∴2a+2-a=.

∵=log34,1=log33,

∴+1=log34+log33=log312.

6.计算:

(1);

(2)log28+lg+ln+(lg5)2+lg2lg50.

解(1)原式==1.

(2)原式=3-3++2÷+(lg5)2+lg2(lg5+1)

=+lg5(lg5+lg2)+lg2=.

关键能力提升练

7.若2loga(P-2Q)=logaP+logaQ(a0且a≠1),则的值为()

A. B.4

C.1 D.4或1

答案B

解析由2loga(P-2Q)=logaP+logaQ,得loga(P-2Q)2=loga(PQ).

由对数运算法则得(P-2Q)2=PQ,即P2-5PQ+4Q2=0,所以P=Q(舍去)或P=4Q,解得=4.

8.(2021河南高二期末)已知log47=a,4b=6,则log4228=()

A. B. C. D.

答案D

解析由4b=6,得log46=b,因为log47=a,

所以log4228=.

故选D.

9.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,则下列结论正确的是()

A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac

C. D.

答案AD

解析由题意,设4a=6b=9c=k(k0),则a=log4k,b=log6k,c=log9k,

对于选项A,由ab+bc=2ac,可得=2,因为=log69+log64=log636=2,故A正确,B错误;

对于选项C,=2logk4+logk6=logk96,=2logk9=logk81,故,即C错误;

对于选项D,=2logk6-logk4=logk9,=logk9,故,即D正确.

10.2x=5y=m(m0),且=2,则m的值为.?

答案

解析由2x=5y=m(m0),得x=log2m,y=log5m,

由=2,得=2,即logm2+logm5=2,logm(2×5)=2.故有m=.

11.方程log2(9x-1-5)=log2(3x-1-2)+2的解为.?

答案x=2

解析∵log2(9x-1-5)=log2(3x-1-2)+2,

∴log2(9x-1-5)=log2[4×(3x-1-2)],

∴9x-1-5=4(3x-1-2),化为(3x)2-12·3x+27=0,因式分解为(3x-3)(3x-9)=0,

∴3x=3或3x=9,解得x=1或x=2.

经过验证x=1不满足条件,舍去.∴x=2.

12.甲、乙两人解关于x的方程log2x+b+clogx2=0,甲写错了常数b,得到两个根;乙写错了常数c得到两个根,64.求这个方程真正的根.

解原方程可化为log2x+b+c·=0,

即(log2x)2+blog2x+c=0.

因为甲写错了常数b得到两个根,

所以c=log2×log2=6.

因为乙写错了常数c得到两个根,64,

所以b=-=-5.

故原方程为(log2x)2-5log2x+6=0.

解得log2x=2或log2x=3.

所以x=4或x=8,即方程真正的根为4,8.

学科素养创新练

13.已知2y·logy4-2y-1=0,·log5x=-1,是否存在一个正整数P,使P=?

解存在.理由如下,

∵2y·logy4-2y-1=0,∴2y=0.

又2y0,∴logy4=.∴y=16.