专题2.9 一元二次方程章末十大题型总结（培优篇）（北师大版）（解析版）.docxVIP

专题2.9一元二次方程章末十大题型总结（培优篇）

【北师大版】

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【题型1一元二次方程的相关概念辨析】 1

【题型2一元二次方程的解的估算】 3

【题型3配方法的应用】 5

【题型4依据判别式推断一元二次方程根的状况】 8

【题型5依据一元二次方程根的状况求参数】 12

【题型6一元二次方程的一般解法】 14

【题型7换元法解一元二次方程】 18

【题型8根的判别式与根与系数关系的综合】 20

【题型9一元二次方程中的阅读理解类问题】 24

【题型10一元二次方程的实际应用】 31

【题型1一元二次方程的相关概念辨析】

【例1】（2025春·湖南益阳·九班级校考期中）若方程(k?1)xk+1?2x=5是关于x的一元二次方程，则k=．

【答案】?1

【分析】依据一元二次方程的一般形式即可得到答案．

【详解】依题意得k+1=2且

解得k=?1

故答案是?1．

【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．一般形式为y=ax2+bx+c(a≠0)

【变式1-1】（2025春·九班级课时练习）下列方程中属于一元二次方程的是（?????）

A．2(x+1)2=x+1

C．xy?x2=2

【答案】A

【分析】依据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必需满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者即为正确答案．

【详解】解：A.2(x+1)2=x+1

B.1x

C.xy?x

D.x2

故选：A．

【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，推断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

【变式1-2】（2025春·河南开封·九班级统考期中）把方程x2+2（x-1）=3x化成一般形式，其一次项系数为

【答案】-1

【分析】先去括号，移项，合并同类项，再找出一次项系数即可．

【详解】解：x2+2（x-1）=3x，

x2+2x-3x-2=0，

x2-x-2=0，

所以一次项系数是-1，

故选：-1．

【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，留意：①一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），②找各项系数带着前面的符号．

【变式1-3】（2025春·福建厦门·九班级厦门外国语学校校考期末）两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0，其中a，b，c是常数，且a+c=0，假如x=2是方程

A．2 B．?2 C．±1 D．1

【答案】B

【分析】利用方程根的定义去验证推断即可．

【详解】∵a≠0，c≠0，a+c=0，

∴a=?c

∴ca

∴x2+b

∴x2+b

∵x=2是方程ax

∴x=2是方程x2+b

∴x2

∴x=?2是方程x2

即x=?2时方程cx

故选：B．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．

【题型2一元二次方程的解的估算】

【例2】（2025春·福建漳州·九班级校考期中）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：

x

20.5

20.6

20.7

20.8

20.9

输出

－13.75

－8.04

－2.31

3.44

9.21

分析表格中的数据，估量方程(x＋8)2－826＝0的一个正数解x的大致范围为（）

A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7

C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9

【答案】C

【详解】试题解析：由表格可知，

当x=20.7时，（x+8）2-826=-2.31，

当x=20.8时，（x+8）2-826=3.44，

故（x+8）2-826=0时，20.7＜x＜20.8，

故选C．

【变式2-1】（2025春·山东青岛·九班级统考期中）依据下列表格的对应值，由此可推断方程x2+12x﹣15=0必有一个解x满足（?????

x

﹣1

1

1.1

1.2

x2+12x﹣15

﹣26

﹣2

﹣0.59

0.84

A．﹣1x1 B．1x1.1 C．1.1x1.2 D．﹣0.59x0.84

【答案】C

【分析】利用表中数据得到x=1.1时，x2+12x﹣15=-0.590，x=1.2时，x2+12x﹣15=0.840，则可以推断方程x2+12x﹣15=0时，有一个解x满足1.1x1.2．

【详解】∵x=1.1时，x2+12x﹣15=-0.590，

x=1.2时，x2+12x﹣15=0.8