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高中数学基本不等式的内容及几何意义

一、基本不等式的内容：

1、如果a,b是正数，那么

说明：（ⅰ）我们称的算术平均数，称的几何

平均数，因而，此不等式又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于

它们的几何平均数。

证明2：要证：，

只要证：

只要证：

只要证：

因为最后一个不等式成立，所以不等式成立，当且仅当

）

证明3：∵

即

显然，当且仅当

2、不等式的几何意义：

均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”。

以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使

AC=a,CB=b。过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么，

即

这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中

当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立。

3、推论：如果，那么（当且仅当

时取“=”）

证明：

4、关于“平均数”的概念

如果

则：叫做这n个正数的算术平均数；叫

做这n个正数的几何平均数。

推广：≥

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

二、典型例题

例1、已知x,y都是正数，求证：

xyP,x=yxy

（1）如果积是定值那么当时，和+有最小值

xySxyxy

（2）如果和+是定值,那么当=时，积有最大值。

分析：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三

个条件：

（ⅰ）函数式中各项必须都是正数;

（ⅱ）函数式中含变量的各项的和或积必须是常数；

（ⅲ）等号成立条件必须存在。

证明：因为x,y都是正数，所以

（1）积xy为定值P时，有

上式当时，取“=”号，因此，当时，和有最小值

。

（2）和x+y为定值S时，有

上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，积xy有最大值。

xy

例2、已知、都是正数，求证：（1）≥2；

xyxyxyxy

（2）（＋）（＋）（＋）≥８。

223333

ab

分析：在运用定理：