3.1 函数的概念及表示（精讲）（原卷版）_1.docx

3.1函数的概念及表示（精讲）

一．函数的概念

概念

一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

三要素

对应关系

y＝f(x)，x∈A

定义域

x的取值范围

值域

与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}

1.函数的概念抓住两点

①可以“多对一”、“不可一对多”

②集合A中的元素无剩余，集合B中的元素可剩余.

2.对于“f(x)”中的“x”，即可以是一个数，也可以是一个代数式.

二.区间

设a，b∈R，且ab，规定如下：

定义

名称

符号

数轴表示

{x|a≤x≤b}

闭区间

[a，b]

{x|axb}

开区间

(a，b)

{x|a≤xb}

半开半闭区间

[a，b)

{x|ax≤b}

半开半闭区间

(a，b]

{x|x≥a}

[a，＋∞)

{x|xa}

(a，＋∞)

{x|x≤a}

(－∞，a]

{x|xa}

(－∞，a)

R

(－∞，＋∞)

1.区间的左端点必小于右端点；

2.区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；

3.用数轴表示区间时，要特别注意属于这个区间端点的实数用实心点表示，不属于这个区间端点的实数用空心点表示；

4.无穷大(∞)是一个符号，不是一个数，因此它不具备数的一些性质和运算法则；

5.包含端点用闭区间，不包含端点用开区间，以“＋∞”或“－∞”为区间的一个端点时，这一端必须是小括号．

三.同一个函数

1.前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.

(2)结论：这两个函数为同一个函数.

四.常见函数的值域

(1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R.

(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，

当a0时，值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，

当a0时，值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).

五.函数的三种表示方法

表示法

定义

解析法

用数学表达式表示两个变量之间的对应关系

图象法

用图象表示两个变量之间的对应关系

列表法

列出表格来表示两个变量之间的对应关系

六.分段函数

分段函数在书写时要用大括号，把各段函数合并写成一个函数的形式，并写出各段的定义域.

1.一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数.

2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.

3.作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.

4.注意事项

(1)分段函数是一个函数而不是几个函数；

(2)分段函数中各段自变量的取值范围的交集是空集；

(3)处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系.

一.根据图形判断对应关系是否为函数的方法

1.任取一条垂直于x轴的直线l；

2.在定义域内平行移动直线l；

3.若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.

二.判断一个对应关系是否为函数的方法

三．求函数定义域

1.如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.

2.如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.

3.如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合.

4.如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集.

5.如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.

四．判断两个函数为同一函数

1.定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数.

2.函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.

3.在化简解析式时，必须是等价变形.

五．求函数值

1.方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；

②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.

2.关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义.

六．求函数值域的常用方法

1.观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域.

2.配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法.

3.换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数