人教A版高中数学（选择性必修第一册）同步讲义+题型讲解第10讲 第一章 空间向量与立体几何 章末重点题型大总结（原卷版）.docVIP

第

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第一章空间向量与立体几何章末题型大总结

一、思维导图

空间向量与立体几何

空间向量与立体几何

空间向量及其运算

空间向量在立体几何中的应用

空间向量的线性运算

空间向量的基本定理

两个向量的数量积

空间向量的直角坐标运算

共线向量定理

共面向量定理

空间向量分解定理

平行与垂直的条件

直线的方向向量与直线的向量方程

平面的法向量与平面的向量表示

直线与平面的夹角

二面角及其度量

距离

二、题型精讲

题型01空间向量的概念及运算

【典例1】平行六面体中，已知底面四边形为矩形，，，，则（????）

A． B．2 C． D．10

【典例2】已知向量，向量与的夹角都是，且，试求

(1)；

(2)．

【典例3】已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是____________．

【变式1】如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（????）

??

A． B． C． D．

【变式2】如图，在长方体中，设，，是的中点．试确定向量在平面上的投影向量，并求．

【变式3】已知空间向量满足，，则与的夹角为_________．

题型02四点共面问题

【典例1】（多选）下列条件中，使与，，一定共面的是（????）

A．

B．

C．

D．

【典例2】设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则为（????）

A． B． C． D．

【典例3】在正方体中，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，直线交直线于点，直线交直线于点，则（????）

A． B．

C． D．

【变式1】（多选）如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（????）

A． B．

C． D．

【变式2】如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基向量，，表示向量，设，则、、的值分别是（????）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

题型03平面法向量的求解

【典例1】已知，则平面的一个单位法向量是（????）

A． B．

C． D．

【典例2】已知空间四点，，，．求平面的一个法向量为__________；

【变式1】空间直角坐标系中，已知点，则平面的一个法向量可以是（????）

A． B． C． D．

【变式2】平面经过，且垂直于法向量为的一个平面，则平面的一个法向量是（????）

A． B． C． D．

题型04利用空间向量证明平行、垂直关系

【典例1】如图，在三棱柱中，平面．，，分别为的中点，则直线与平面的位置关系是（????）

A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交且不垂直

【典例2】（多选）如图，在正方体中，是线段上的动点，则下列结论错误的是（????）

A．平面 B．平面

C．平面 D．平面

【典例3】如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．求证：平面平面.

【典例4】如图，在三棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点．

(1)求证：平面平面；

(2)在线段上是否存在一点，使？证明你的结论．

【变式1】在正方体中，，分别为，的中点，则（????）

A．平面 B．异面直线与所成的角为30°

C．平面平面 D．平面平面

【变式2】（多选）如图，平行六面体的体积为，，，底面边长均为4，且分别为的中点，则下列选项中不正确的有（????）

A． B．平面

C． D．平面

【变式3】如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点．

(1)求直线与所成角的余弦值；

(2)在侧面内找一点，使平面．

【变式4】如图，在直三棱柱中，为的中点，分别是棱上的点，且．

(1)求证：直线平面；

(2)若是正三角形为中点，能否在线段上找一点，使得平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由．

题型05异面直线所成角

【典例1】如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（????）

??

A． B． C． D．

【典例2】如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为下底面圆周上一点，满足，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

【典例3】如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，为上一点，，，且.

(1)求的值；

(2)求异面直线与所成角的余弦值．

【变式1】已知四面体满足，，，且该四面体的体积为，则异面直线与所成角的大小为（????）

A． B． C．或 D．或

【变式2】如图所示，已知两个正四棱锥与的高分别为1和2，，则异面直线与所成角的正弦值为________．

【变式3】如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点，分别是，的中点.

(1)求证：，；

(2)求异面直线与所成角的余弦值.

题型06利用向