2025年中考数学总复习培优训练25分压轴题组(二).docVIP

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25分压轴题组(二)

22．(12分)【问题初探】

(1)在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在AC边上，连接BD，将线段DB绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接CE.求证：AD2＋CD2＝CE2.

①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BC上截取CF＝AD，连接DF，将线段CE与AD，CD之间的数量关系转化为线段CE与DF之间的数量关系．

②如图3，小亮同学从条件的角度出发给出如下解题思路：过点E作EG⊥AC交AC的延长线于点G，将线段CE与AD，CD之间的数量关系转化为线段CE与CG，EG之间的数量关系．

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．

【类比分析】

(2)李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将要证明的线段进行转化，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面的问题，请你解答．

如图4，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交AC边于点F，求证：EF2＋DF2＝2CF2.

【学以致用】

(3)如图5，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E、F分别在边BC、DC上，∠EAF＝45°，AE＝2eq\r(,5)，连接EF，求线段EF的长．

23.(13分)在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的直角边长为n(n为正整数，且n≥2)，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．若点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))在等腰直角三角形OAB的边上，且x，y均为整数，则定义点M为等腰直角三角形OAB的“整点”．若某函数的图象与等腰直角三角形OAB只有两个交点且交点均是等腰直角三角形OAB的“整点”，定义该函数为等腰直角三角形OAB的“整点函数”．

(1)如图1，当n＝2时，一次函数y＝kx＋b是等腰直角三角形OAB的“整点函数”，则符合题意的一次函数的表达式为________(写出一个即可)；

(2)如图2，当n＝3时，反比例函数y＝eq\f(m,x)的图象经过Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，判断该函数是否为等腰直角三角形OAB的“整点函数”，并说明理由；

(3)当n＝4时，二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象经过AB的中点，若该函数是等腰直角三角形OAB的“整点函数”，求a的取值范围；

(4)在(3)的条件下，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1，y1))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋2，y2))是二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象上两点，若点P、Q之间的图象(包括点P、Q)的最高点与最低点纵坐标的差为3eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))，求a的值．

答案

22．解：(1)选择小明同学的解题思路：在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CD＝BF，

∵DE＝DB，∠BDE＝90°，

∴∠DBF＝90°－∠CDB＝∠EDC，

∴△DBF≌△EDC(SAS)，∴CE＝DF.

∵在Rt△DCF中，CF2＋CD2＝DF2，∴AD2＋CD2＝CE2；

选择小亮同学的解题思路：

在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，

∵DE＝DB，∠BDE＝90°，

∴∠DBC＝90°－∠CDB＝∠EDG，

∵∠G＝∠BCD＝90°∴△DBC≌△EDG(AAS)．

∴DG＝BC＝AC，CD＝EG，∴AD＝CG.

∵在Rt△CEG中，CG2＋EG2＝CE2，

∴AD2＋CD2＝CE2；

(2)如解图1，在CB上截取CM＝CF，连接FM，DM.

∵∠DCE＝∠BCA＝90°，CD＝CE，∴∠DCM＝90°－∠ACD＝∠ECF，

∴△ECF≌△DCM(SAS)，

∴EF＝DM，∠E＝∠CDM.∵CE＝CD，∠ECD＝90°，∴∠E＝∠CDE＝45°＝∠CDM.∴∠FDM＝45°＋45°＝90°.

∵在Rt△CFM中，CF＝CM，CF2＋CM2＝FM2，∴FM2＝2CF2.

∵在Rt△DFM中，DM2＋DF2＝FM2，∴EF2＋DF2＝2CF2.

(3)如解图2，在AB上截取BP＝BE，连接EP，在AD上截取DQ＝DF，连接FQ，

∵在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，

∴∠B＝∠BAD＝∠D＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8，∴BP＝BE＝eq\r(AE2－AB2)＝2，∴AP＝AB－BP＝2.

∵∠B＝∠D＝90°，BP＝BE＝2，DQ＝DF，

∴∠BPE＝∠BEP＝∠DQF＝∠D