第07讲 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积（知识解读+真题演练+课后巩固）（原卷版）.docxVIP

第07讲弧长、扇形面积和圆锥的侧面积

理解弧长和扇形面积及公式，并会计算弧长和扇形的面积

经受探究弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想、培育同学的探究力量；

通过弧长及扇形面积公式解决实际问题，让同学体验数学与人类生活的亲密联系；

4.通过探究圆锥侧面积和全面积计算公式，并娴熟运用公式解决问题。

学问点1：扇形的弧长和面积计算

扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式：

：圆心角：扇形多对应的圆的半径：扇形弧长：扇形面积

留意：

(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；

(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；

(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，

即；

(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

学问点2：扇形与圆柱、圆锥之间联系

1、圆柱：

（1）圆柱侧面开放图

=

圆柱的体积：

2、圆锥侧面开放图

（1）=

（2）圆锥的体积：

留意：圆锥的底周长=扇形的弧长（）

【题型1弧长的计算】

【典例1】（2025?怀集县二模）如图，△ABC内接⊙O，∠BAC＝45°，BC＝，则的长是（）

A． B． C． D．π

【变式1-1】（2025?钦州一模）如图，点A，B，C，E在⊙O上，OC⊥AB于点D，∠E＝22.5°，OB＝2，则的长为（）

A． B． C．π D．π

【变式1-2】（2025?崆峒区校级三模）道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先依据其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（）

A． B． C． D．

【变式1-4】（2025秋?石景山区期末）若圆的半径为9，则120°的圆心角所对的弧长为（）

A．3 B．6 C．3π D．6π

【变式1-4】（2025?兰州模拟）如图，从一块半径为8cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形ABC，则扇形ABC中弧BC的长为（）cm

A． B． C． D．

【题型2利用弧长公式求周长】

【典例2】（2025?宁德模拟）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形ABC的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长等于（）

A．2π B． C． D．

【变式2-1】（2025?潍坊三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为BC的中点，连接AD，以点D为圆心，DA长为半径作弧MN，若DM⊥AB于点E，DN⊥AC于点F．则图中阴影部分的周长为（）

A． B． C． D．

【变式2-2】（2025?山西模拟）小敏所在的小区有如图1所示的护栏宣扬版面，其外形是扇形的一部分，图2是其平面示意图，AD和BC都是半径的一部分，小敏测得AD＝BC＝0.6m，DC＝0.8m，∠ADC＝∠BCD＝120°，则这块宣扬版面的周长为（）

A．（π+2）m B．（π+2）m

C．（）m D．（）m

【变式2-3】（2025?安陆市二模）如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心，作半径均为1的三个圆，三圆两两不相交，那么三个圆落在△ABC内的三段弧长度之和为（）

A．3π B．2π C．π D．

【题型3计算扇形的面积】

【典例3】（2025?忻州模拟）习近平总书记强调：“青年一代有抱负、有本事、有担当，国家就有前途，民族就有期望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣扬展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（）

A． B．3m2 C． D．

故选：A．

【变式3-1】（2025?温州三模）一个扇形的圆心角为135°，半径为2，则该扇形的面积为．

【变式3-2】（2025?嘉祥县二模）扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，弧BC的长度为20πcm，弧DE的长度为，扇面边缘宽BD的长为20cm，则扇面DBCE的面积为cm2．

【题型4计算不规章图形的阴影部分面积】

【典例4】（2025?平遥县二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，将Rt△ACB绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为，将线