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EXTENSIONMATERIAL
3Conditionalprobability
TrythisworksheetafteryouhavecompletedExercise3I.
TheconditionalprobabilitylawinChapter3relatedeventsAandBsuchthat
➔P(A|B)=P(A∩B)(1)and
P(B)
P(B|A)=P(B∩A)(2)
P(A)
Bayes’theorem
Youcanuseformulae(1)and(2)tofindtheprobabilityofaneventhappening
giventhatanotherhasalreadyhappened.
Rearrange(1)togetP(A∩B)=P(A|B)P(B)(3)
and(2)togetP(B∩A)=P(B|A)P(A)(4)
Since(A∩B)=(B∩A),thenP(A∩B)=P(B∩A)
Thereforefrom(3)and(4)
P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
RearrangethistogiveP(A|B)=P(B|A)P(A)(5)
P(B)
NowsupposethatinsteadofasingleeventAtherewerenalternativeprevious
eventsthatcouldhavehappenemelyA,A,A,…,A.
123n
TheseeventsaremutuallyexclusiveandexhaustivesothatA∪A∪A∪…∪A=S,
123n
thecompletesamplespace,andBisanarbitraryeventofS.
Thenfori=1,2,3,…,n
P(B|A)P(A)
➔P(A|B)=ii
iP(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)++P(B|A)PP(A)
1122nn
ThisformulaisknownasBayes’theorem.
YoucanuseBayes’theoremto‘reversetheconditions’inaproblem.
EXAMPLE1
Afootballteamplays60%ofitsgamesathomeand40%away.Theteamwins8out
of10ofitshomegamesand5outof10o
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