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2023届吉林省长春市第五中学高三下学期开学考试(2月)数学试题
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设全集,集合,,则()
A. B. C. D.
2.已知双曲线:(,)的右焦点与圆:的圆心重合,且圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为,则双曲线的离心率为()
A.2 B. C. D.3
3.已知为等比数列,,,则()
A.9 B.-9 C. D.
4.函数在的图象大致为()
A. B.
C. D.
5.如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图,则该几何体的体积是()
A. B. C. D.
6.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一平面
7.已知向量,则()
A.∥ B.⊥ C.∥() D.⊥()
8.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()
A. B. C. D.
9.“”是“函数的图象关于直线对称”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是()
A.12个月的PMI值不低于50%的频率为
B.12个月的PMI值的平均值低于50%
C.12个月的PMI值的众数为49.4%
D.12个月的PMI值的中位数为50.3%
11.设集合则()
A. B. C. D.
12.已知定义在上的可导函数满足,若是奇函数,则不等式的解集是()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2
14.已知两圆相交于两点,,若两圆圆心都在直线上,则的值是________________.
15.数列的前项和为,则数列的前项和_____.
16.已知向量,,若满足,且方向相同,则__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知是递增的等差数列,,是方程的根.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.
18.(12分)已知函数,.
(1)若时,解不等式;
(2)若关于的不等式在上有解,求实数的取值范围.
19.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)若,求曲线与的交点坐标;
(2)过曲线上任意一点作与夹角为45°的直线,交于点,且的最大值为,求的值.
20.(12分)在直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;
(2)若射线的极坐标方程为().设与相交于点,与相交于点,求.
21.(12分)已知椭圆:(),四点,,,中恰有三点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左右顶点分别为.是椭圆上异于的动点,求的正切的最大值.
22.(10分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点的极坐标为.
(1)求的直角坐标方程和的直角坐标;
(2)设与交于,两点,线段的中点为,求.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.D
【解析】
求解不等式,得到集合A,B,利用交集、补集运算即得解
【详解】
由于
故集合
或
故集合
故选:D
【点睛】
本题考查了集合的交集和补集混合运算,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于中档题.
2.A
【解析】
由已知,圆心M到渐近线的距离为,可得,又,解方程即可.
【详解】
由已知,,渐近线方程为,因为圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为,
所以圆心M到渐近线的距离为,故,
所以离心率为.
故选:A.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的问题,涉及到直线与圆的位置关系,考查学生的运算能力,是一道容易
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