北师版高考数学一轮总复习课后习题 课时规范练24 利用导数证明不等式.docVIP

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课时规范练24利用导数证明不等式

1.已知函数f(x)=(1x+

(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线斜率;

(2)当x0时,求证:f(x)1.

2.(山东潍坊模拟)已知函数f(x)=lnx+a2x2

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)当a1时,证明:f(x)3a-

3.(河北石家庄模拟)已知函数f(x)=aex-12x2

(1)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围;

(2)当a=1时,证明:?x∈(-2,+∞),f(x)sinx.

4.(湖南益阳模拟)已知函数f(x)=12ax2

(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;

(2)若a=2e,证明:f(x)xex+1.

5.(安徽合肥模拟)已知函数f(x)=alnx+x2,其中a∈R.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)当a=1时,证明:f(x)≤x2+x-1;

(3)求证:对任意的n∈N*且n≥2,都有(1+122)(1+132)(1+142)

课时规范练24利用导数证明不等式

1.(1)解f(x)=-1x2ln(x+1)+(1x+

(2)证明当x0时,欲证明f(x)1,只需证明ln(x+1)-2xx+2

设u(x)=ln(x+1)-2xx+2,则u(x)=x2(

2.(1)解f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=1

当a≤0时,f(x)0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.

当a0时,令f(x)0,解得0xa;

令f(x)0,解得xa,所以f(x)在(0,a)内单调递减,在(a,+∞)上单调递增.

(2)证明由(1)可知,当a1时,f(x)min=f(a)=lna+a

要证f(x)3a-12a+2,只需证12lna+

令g(x)=lnx+4x+1-2(x1),所以g(x)=1

因此g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)g(1)=0,即lna+4a+1-20,故f(x)3a

3.(1)解因为f(x)=aex-12x2-x,所以f(x)=aex-x-1,由f(x)在R上单调递增,得f(x)≥0在R上恒成立,即aex-x-1≥0在R上恒成立,所以a≥x+1ex在R上恒成立,令h(x)=

(2)证明当a=1时,f(x)=ex-12x2-x,所以f(x)=ex

要证f(x)sinx,只需证f(x)1.

①当x∈(0,+∞)时,令g(x)=f(x)=ex-x-1,可得g(x)=ex-10,所以g(x)单调递增,所以g(x)g(0)=0,因此f(x)单调递增,所以f(x)f(0)=1;

②当x=0时,可得f(0)=1且sin0=0,所以f(0)sin0,满足f(x)sinx;

③当-2x0时,可得sinx0,因为ex0,且-12x2-x=-12(x+1)2+

综上可得,?x∈(-2,+∞),都有f(x)sinx.

4.(1)解由已知得f(x)=ax-lnx-1.

因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当x0时,f(x)≥0,即a≥ln

令h(x)=lnx+1x(x0),则h(x)=-ln

(2)证明若a=2e,要证f(x)xex+1,只需证ex-lnxex+1x,即ex-exlnx+

令t(x)=lnx+1x(x0),则t(x)=x-1x2

令φ(x)=ex-ex(x0),则φ(x)=e-ex,所以当0x1时,φ(x)0,当x1时,φ(x)0,所以φ(ax=φ(1)=0,所以ex-ex≤0.

所以ex-exlnx+1x,f(x)xex

5.(1)解函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=ax+2x=a

①当a≥0时,f(x)0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.

②当a0时,令f(x)=0,解得x=-

当0x-a2时,f(x)0,f(x)在(0,-a2)内单调递减;当x-a2

综上,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a0时,函数f(x)在(0,-a2)内单调递减,在(-a

(2)证明当a=1时,f(x)=lnx+x2,要证明f(x)≤x2+x-1,即证lnx≤x-1,即证lnx-x+1≤0.

设g(x)=lnx-x+1,则g(x)=1-

当x∈(0,1)时,g(x)0,g(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,g(x)0,g(x)单调递减.

所以g(x)在x=1处取得极大值,且极大值为最大值,所以g(x)≤g(1)=0,即lnx-x+1≤0.

f(x)≤x2+x-1得证.

(3)证明由(2)lnx≤x-1(当且仅当x=1时,等号成立),令x=1+1n2,则ln(1+1n2)1n2,所以ln(1+122)+ln(1+132)+…+ln(1+1n2)122+132+…+1n211×2+12×