1.2.1空间中的点、直线、与空间向量 （教学课件）-高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册.pptxVIP

1.2.1空间中的点、直线与空间向量

[课标解读]1.能用向量语言描述直线，理解直线的方向向量.2.能用向量语言表述直线与直线的夹角以及垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线位置关系的判定定理.4.体会向量方法在研究几何问题中的作用.

教材要点

知识点一用向量表示直线或点在直线上的位置

在直线1上给定一个定点A和它的一个方向向量a,对于直线l上的任

意一点P,则有AP=ta,上面向量等式叫做空间直线的向量参数方程.向量a称为该直线的方向向量.

知识点二用向量方法证明直线与直线平行

1.设直线l₁和l₂的方向向量分别为v₁和v₂,则由向量共线的条件，得l₁//l₂或l₁与l₂重合⇔_v₁//v₂

2.已知两个不共线向量v₁,v₂与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v,则由共面向量定理，可得1//α或l在a内一存在两个实数x,y,使v=xv₁+yv₂.

3.已知两个不共线向量v₁,v₂与平面α共面，则由两平面平行的判

定与性质，得a//β或α与β重合⇔v₁//β且v₂//β.

知识点三用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角

l₁l两₂⇔条v直₁⊥线v,s分别是l₁和l₂的方向向量，则

₂

v

,v

和

v

₁

o

θ

c

为

sθ

的

co

成

基础自测

1.直线l₁,l₂的方向向量分别为v₁=(3,0,1),v₂=(一1,0,m),若

l₁//l₂,则m等于()

A.1B.3

C.D.

答案：D

解析：因为l₁//l₂.所以存在实数λ,使v₁=λv₂

即(3,0,1)=λ(—1,0,m),

2.若A(1,0,—1),B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向

量是()

A.(2,2,6)B.(1,1,3)

C.(3,1,1)D.(—3,0,1)

答案：B

解析：AB=(2,1,2)—(1,0,一1)=(1,1,3),故选B.

3.若直线l₁的方向向量与l₂的方向向量的夹角是120°,则l₁与l₂这两条异面直线所成的角等于()

A.150°B.120°

C.60°D.30°

答案：C

解析：由异面直线所成角的定义可知，l₁与l₂所成的角为

180°—120°=60°.

4.直线l₁与l₂不重合，直线l₁的方向向量为v₁=(一1,1,2),直线l₂

的方向向量v,=(2,0,1),则直线l₁与1的位置关系是

答案：垂直

解析：因为v₁·v₂=(-1,1,2)·(2,0,1)=-2+2=0,所以

v₁⊥v₂.

●

题型1空间中点的位置确定

例1已知O是坐标原点，A,B,C三点的坐标分别为A(3,4,0),

B(2,5,5),C(0,3,5).

(1),求P点的坐标；

解析：AB=(-1,1,5),AC=(-3,-1,5).

∴P点的坐标为(1,1,0).

(2)若P是线段AB上的一点，且AP:PB=1:2,

解析：由P是线段AB上的一点，且AP:PB=1:2,

设点P的坐标为(x,y,z),

则AP=(x-3,y-4,z),PB=(2—x,5-y,5-z),

故(x-3,y-4,z)=₂(2-x,5-y,5-z),

即

因此P点的坐标

求P点的坐标.

·

状元随笔

(1)由条件先求出AB,AC的坐标，再利用向量的运算求P点的坐标.

(2)先把条件AP:PB=1:2转化为向量关系，再运算.

方法归纳

此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点坐标的方程或方程组求解即可.

跟踪训练1

已知点A(2,4,0),B(1,3,3),线AB上建立一条数轴，P,Q

(1)AP:PB=1:2;

(2)AQ:QB=2:1.

求点P和点Q的坐标.

如图，以AB的方向为正向，在直为轴上的两点，且分别满足条件：

答案：C

解析：以C₁为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设BC=CA=CC₁=2,则A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2),∴AN=(-1,0,一2),BM=(1,—1,一2),

题型2利用向量法求异面直线的夹角

例2(1)直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°,