北师版高考数学一轮总复习课后习题 课时规范练36 三角函数中的综合问题.docVIP

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课时规范练36三角函数中的综合问题

1.(浙江,18)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=5c,cosC=35

(1)求sinA的值;

(2)若b=11,求△ABC的面积.

2.(天津,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=39,b=2,∠A=120°.求:

(1)sinB的值;

(2)c的值;

(3)sin(B-C)的值.

3.(北京通州统考模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω0,|φ|π2),再从条件①、条件②、条件③

(1)求f(x)的解析式:

条件①:f(x)为奇函数;

条件②:f(x)图象上相邻两个对称中心间的距离为π2

条件③:f(x)图象的一条对称轴为直线x=π4

(2)设函数g(x)=f(x)+f(x+π6),求g(x)在区间[0,π4

4.(全国乙,文17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)若A=2B,求C;

(2)证明:2a2=b2+c2.

课时规范练36三角函数中的综合问题

1.解(1)∵cosC=35且0Cπ,

∴sinC=4

又∵4a=5c,∴

由正弦定理得asin

∴sin

∴sinA=54×

(2)∵b=11,∴由余弦定理可知c2=b2+a2-2abcosC,

c2=112+(54c)2-2×54

c2=112+516c2-33

即1116c2+33510

整理得5c2+245c-880=0,解得c=-245+64

∴a=54×4

∴S△ABC=12absinC=12×

2.解(1)由正弦定理可得asinA

(2)由余弦定理可得cosA=b2

即-12

解得c=5或c=-7(舍去).

(3)由(1)知,sinB=1313

所以cosB=239

所以sin(B-C)=sin[B-(60°-B)]=sin(2B-60°)=12sin2B-32cos2B=sinBcosB-32(cos2B-sin2B)=1313×23913-32×

3.解(1)若选①②:由①知f(x)为奇函数,

所以f(x)的图象关于原点对称,则φ=kπ,k∈Z,又|φ|π2

由条件②得2πω

所以f(x)=sin2x.

若选②③:

由条件②得2πω

由条件③得2×π4+φ=π2

解得φ=kπ,k∈Z,

又|φ|π2

条件①③无法确定f(x)的解析式.

(2)由题知g(x)=sin2x+sin[2(x+π6)]=sin2x+sin2xcosπ3+cos2x·sinπ3=32sin2x+32cos2x=3sin

所以π6≤2x+

所以当2x+π6=π2

4.(1)解∵sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),A=2B,

∴sinCsinB=sinBsin(C-A).

又sinB0,∴sinC=sin(C-A).

∴C=C-A(舍去)或C+C-A=π,即C=π+A

又A+B+C=π,∴π+4A2=π,解得A=

(2)证明(证法一)∵sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

∴sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinC·cosA-cosCsinA),

即sinCsinAcosB-sinCcosAsinB=sinBsinC·cosA-sinBcosCsinA,

即sinA(sinCcosB+cosCsinB)=2sinBsinC·cosA,

即sinAsin(B+C)=2sinBsinCcosA,

即sin2A=2sinBsinCcosA.

由正弦定理、余弦定理,得a2=2bc·b

即a2=b2+c2-a2,故2a2=b2+c2.

(证法二)∵sinCsin(A-B)=sinB·sin(C-A),

∴sinCsinAcosB-sinCsinBcosA=sinB·sinCcosA-sinBsinAcosC.

由正弦定理及余弦定理,得ca·a2+c2-b

化简整理,得2a2=b2+c2.