第二板块 小题保分练（二） 数列的综合问题.DOC

第二板块小题保分练（二）数列的综合问题

1．(2023·长郡中学模拟)若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称{an}为“梦想数列”．已知正项数列{bn－1}为“梦想数列”，且b1＝2，则bn＝()

A．bn＝2×3n B．bn＝2×3n－1

C．bn＝2×3n＋1 D．bn＝2×3n－1＋1

解析：选B∵“梦想数列”{an}满足an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)，∴由正项数列{bn－1}为“梦想数列”，可得bn＋1－1＋1＝3(bn－1＋1)，即bn＋1＝3×bn.∵b1＝2，∴bn＝2×3n－1，故选B.

2．(2023·淮南一模)斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列{an}可以用如下方法定义：an＋2＝an＋1＋an，且a1＝a2＝1，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{bn}，则数列{bn}的前2023项的和为()

A．2023B．2024C．2696D．2697

解析：选D因为an＋2＝an＋1＋an，且a1＝a2＝1，所以数列{an}为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，….此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{bn}为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0，…，是以6为周期的周期数列，所以数列{bn}的前2023项的和S2023＝eq\f(2022,6)(1＋1＋2＋3＋1＋0)＋b1＋337×6＝337×8＋1＝2697，故选D.

3．已知数列{an}满足eq\f(1,2)an＝an＋1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1，且a1＝eq\f(1,2)，若aneq\f(1,3)，则n的最小值为()

A．3B．4C．5D．6

解析：选B由数列{an}满足eq\f(1,2)an＝an＋1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1，得an＋1－eq\f(1,2)an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1，两边同时除以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1可得eq\f(an＋1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1)－eq\f(an,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)＝1.又a1＝eq\f(1,2)，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)))是首项为1，公差为1的等差数列．所以eq\f(an,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n.令aneq\f(1,3)，即n·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))neq\f(1,3)，当n＝1,2,3时，aneq\f(1,3)；当n＝4时，4×eq\f(1,16)＝eq\f(1,4)eq\f(1,3).故选B.

4．(2023·揭阳联考)已知数列{an}满足a2＝eq\r(3)，a1＝1，且aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝2an－2an－1＋1(n≥2)，则aeq\o\al(2,2023)－2a2022的值为()

A．2021 B．2022

C．2023 D．2024

解析：选B由aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝2an－2an－1＋1(n≥2)得，(aeq\o\al(2,n＋1)－2an)－(aeq\o\al(2,n)－2an－1)＝1，且由a2＝eq\r(3)，a1＝1，得aeq\o\al(2,2)－2a1＝1，所以{aeq\o\al(2,n＋1)－2an}构成以1为首项，1为公差的等差数列．所以aeq\o\al(2,n＋1)－2an＝n，所以aeq\o\al(2,2023)－2a2022＝2022.

5．(2023·安阳模拟)在数列{an}中，a1＝1，a2＝2且an＋2－an＝1－(－1)n(n∈N*)，S100＝()

A．0 B．1300

C．2600 D．2650

解析：选C当n为奇数，即n＝2k－1(k