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行列式的计算方法和解析论文

行列式是线性代数中重要的概念，其在矩阵理论、向量空间等方面有

广泛的应用。行列式的计算方法包括拉普拉斯展开、按行（列）展开、递

推法等。行列式的计算方法在不同的场景下有不同的适用性，下面将详细

介绍行列式的计算方法及其应用，并从一篇经典的解析论文中探讨行列式

在数学研究中的作用。

一、行列式的计算方法

1.拉普拉斯展开法：

拉普拉斯展开法是求行列式的一种常用的计算方法。假设A是一个n

阶方阵，其中元素用a_ij表示，对于任意一个a_ij，可以通过展开该元

素所在的行和列的其他元素来计算行列式的值。拉普拉斯展开法的基本原

理是递归地求解子行列式的值，直到得到一个1阶行列式。

例如，对于一个3阶行列式A=，a_11a_12a_13

a_21a_22a_2

a_31a_32a_3

可以通过拉普拉斯展开法按第一行展开来计算行列式的值：

A，=a_11*，A_11，-a_12*，A_12，+a_13*，A_1

=a_11*(a_22*a_33-a_23*a_32)-a_12*(a_21*a_33-

a_23*a_31)+a_13*(a_21*a_32-a_22*a_31)

其中，A_11，表示去掉第一行第一列元素的2阶子行列式，以此类推。

2.按行（列）展开法：

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按行（列）展开法是求行列式的另一种计算方法。通过选择其中一行

（列），将行列式扩展为若干个较小阶的子行列式，最终递归地计算行列

式的值。按行展开和按列展开所得到的计算表达式相同，只是展开的方式

不同而已。

例如，对于一个3阶行列式A=，a_11a_12a_13

a_21a_22a_2

a_31a_32a_3

可以通过按第一行展开来计算行列式的值：

A，=a_11*，A_11，-a_12*，A_12，+a_13*，A_1

=a_11*(-1)^(1+1)*(a_22*a_33-a_23*a_32)

-a_12*(-1)^(1+2)*(a_21*a_33-a_23*a_31)

+a_13*(-1)^(1+3)*(a_21*a_32-a_22*a_31)

其中，(-1)^(i+j)是代数余子式。

3.递推法：

递推法是一种简便的行列式计算方法，适用于计算较高阶行列式的值。

递推法的基本思想是通过对行列式进行一系列化简操作，将高阶行列式的

值逐步表示为低阶行列式的和，最终到达1阶行列式的计算。

例如，对于一个4阶行列式A=，a_11a_12a_13a_14

a_21a_22a_23a_2

a_31a_32a_33a_3

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a_41a_42a_43a_4

可以通过递推法计算行列式的值：

A，=a_11*，A_11，-a_12*，A_12，+a_13*，A_13，-a_14*，A_1

=a_11*(-1)^(1+1)*(a_22*a_33*a_44-a_22*a_34*a_43-

a_32*a_23*a_44+a_32*a_24*a_43+a_42*a_23*a_34-a_42*a_24*a_33)

-a_12*(-1)^(1+2)*(a_21*a_33*a_44-a_21*a_34*a_43-

a_31*a_23*a_44+a_31*a_24*a_43+a_41*a_23*a_34-a_41*a_24*a_33)

+a_13*(-1)^(1+3)*(a_21*a_32*a_44-a_21*a_34*a_42-