第三板块 小题保分练（一） 空间几何体的表面积及体积.DOC

第三板块小题保分练（一）空间几何体的表面积及体积

1.如图所示的是水平放置的某个三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么()

A．最长的是AB，最短的是AC

B．最长的是AC，最短的是AB

C．最长的是AB，最短的是AD

D．最长的是AD，最短的是AC

解析：选C由题中的直观图可知，A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，根据斜二测画法的规则可知，在原图形中AD∥y轴，BC∥x轴．又因为D′为B′C′的中点，所以△ABC为等腰三角形，且AD为底边BC上的高，则有AB＝ACAD成立．

2.(2023·淄博一模)如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为2，若该几何体的表面积为20π，则其体积为()

A.eq\f(44,3)π B．15π

C.eq\f(28,3)π D.eq\f(16,3)π

解析：选A由题意可知，设该几何体中间部分圆柱的高为h，圆柱的半径为r，则该几何体的表面积为4πr2＋2πr·h＝20π，因为r＝2，所以h＝1.所以该几何体的体积V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2·h＝eq\f(44,3)π.

3.(2023·武汉一模)某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径为15cm，高为10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔．若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为()

A.eq\r(10) B.eq\r(15)

C．4 D．5

解析：选D因为大圆柱表面积为2×152π＋10×2×15π＝750π，小圆柱侧面积为10×2πr，上、下底面积为2πr2，所以加工后工件的表面积为750π＋20πr－2πr2，当r＝5时表面积最大．故选D.

4．(2023·烟台二中模拟)已知圆锥的侧面积为4eq\r(3)π，高为2eq\r(2)，若圆锥可在某球内自由运动，则该球的体积最小值为()

A．8eq\r(2)π B．8π

C．9π D．9eq\r(2)π

解析：选D设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(πrl＝4\r(3)π，,\r(l2－r2)＝2\r(2)，))解得r＝2，l＝2eq\r(3).由题意知当球为圆锥的外接球时，体积最小．设外接球的半径为R，则(2eq\r(2)－R)2＋22＝R2，解得R＝eq\f(3\r(2),2).所以外接球的体积为eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))3＝9eq\r(2)π.

5．(2023·通化模拟)已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1∶3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为eq\f(π,2)，则圆台的高为()

A．2eq\r(3) B.eq\r(15)

C．4 D．3eq\r(2)

解析：选B如图，将圆台还原为圆锥，上底面圆的半径为r，下底面圆的半径为3r，底面圆周长为6πr，因为圆台的母线长为4，根据上、下底面圆半径的比为1∶3，所以上圆锥的母线长为2，则圆台所在圆锥的母线长为6.因为圆台展开图所在扇形的圆心角为eq\f(π,2)，所以eq\f(π,2)×6＝6πr，得r＝eq\f(1,2).所以圆台的高h＝eq\r(42－4r2)＝eq\r(15).

6．[多选]已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的eq\f(1,3)，则下列结论正确的是()

A．球O的表面积为6π

B．球O的内接正方体的棱长为1

C．球O的外切正方体的棱长为eq\f(4,3)

D．球O的内接正四面体的棱长为2

解析：选AD设球O的半径为r，△ABC的外接圆圆心为O′，半径为R，易得R＝eq\f(2\r(3),3).因为球心O到平面ABC的距离等于球O半径的eq\f(1,3)，所以r2－eq\f(1,9)r2＝eq\f(4,3)，得r2＝eq\f(3,2).所以球O的表面积S＝4πr2＝4π×eq\f(3,2)＝6π，A正确；球O的内接正方体的棱长a满足eq\r(3)a＝2r，显然B不正确；球O的外切正方体的棱长b满足b＝2r，显然C不正确；球O的内接正四面体的棱长c满足c＝eq\f(2\r(6),3)r＝eq\f(2\r(6),3)×eq\f(\r(6),2)＝2，D正确．

7．(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展