第一板块 小题保分练（二） 三角恒等变换与解三角形.DOC

第一板块小题保分练（二）三角恒等变换与解三角形

1．(2023·湛江模拟)已知cosα＝eq\f(4,5)，0αeq\f(π,2)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝()

A.eq\f(\r(2),10) B.eq\f(7\r(2),10)

C．－eq\f(\r(2),10) D．－eq\f(7\r(2),10)

解析：选B由cosα＝eq\f(4,5)，0αeq\f(π,2)，得sinα＝eq\f(3,5).所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)sinα＋eq\f(\r(2),2)cosα＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(3,5)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(4,5)＝eq\f(7\r(2),10).

2．(2023·丹东二模)在△ABC中，AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(3)，A＝60°，则cosB＝()

A．±eq\f(\r(2),2) B．±eq\f(1,2)

C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(2),2)

解析：选D由正弦定理eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(2),sinB)，得sinB＝eq\f(\r(2),2).因为BCAC，所以cosB＝eq\f(\r(2),2).

3．在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边按逆时针旋转eq\f(π,6)后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))＝()

A.eq\f(7,25)B．－eq\f(7,25)C.eq\f(24,25)D．－eq\f(24,25)

解析：选A由题设得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5).由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))＝－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－1＝eq\f(7,25).

4．(2021·新课标Ⅰ卷)若tanθ＝－2，则eq\f(sinθ?1＋sin2θ?,sinθ＋cosθ)＝()

A．－eq\f(6,5) B．－eq\f(2,5)

C.eq\f(2,5) D.eq\f(6,5)

解析：选C原式＝eq\f(sinθ?sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ?,sinθ＋cosθ)＝eq\f(sinθ?sinθ＋cosθ?2,sinθ＋cosθ)＝sin2θ＋sinθcosθ＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ,tan2θ＋1)＝eq\f(4－2,4＋1)＝eq\f(2,5).故选C.

5．(2023·北京高考)在△ABC中，(a＋c)(sinA－sinC)＝b(sinA－sinB)，则∠C＝()

A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)

C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)

解析：选B因为(a＋c)(sinA－sinC)＝b(sinA－sinB)，所以由正弦定理得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，即a2＋b2－c2＝ab，故cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(ab,2ab)＝eq\f(1,2).又0Cπ，所以C＝eq\f(π,3).故选B.

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，C＝2(A＋B)，则eq\f(b＋c,a)＝()

A.eq\f(7,5) B．4

C.eq\f(5,3) D.eq\f(7,4)

解析：选B由C＝2(A＋B)，A＋B＋C＝π，得C＝eq\f(2π,3).由a，b，c成等差数列，得2b＝a＋c.由余弦定理，得cos