中考数学二轮专题复习教案：专题一 “最值问题”之专题复习——平面几何中的最值问题.pdfVIP

专题一：“最值问题”

专题复习——平面几何中的最值问题

在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一

起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节

约和最高效率．

在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图

形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

最值问题的解决方法通常有两种：

（1）应用几何性质：

①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

②两点间线段最短；

③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

④定圆中的所有弦中，直径最长。

（2）运用代数证法：

①运用配方法求二次三项式的最值；

②运用一元二次方程根的判别式。

例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。

例2、已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎

样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大？

分析:本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有

AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．

例3、如上右图是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出

最大面积，使得窗户透光最好？

例4、已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大？

分析因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限状况(P与A

重合时)等于AB．因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值．

例5、如图，在直角△ABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是△ABD，△ACD的内心，直线

MN交AB，AC于K，L．求证：S≥2S．

△ABC△AKL

例6、如图．已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P，Q．求证：PQ≤AB．

证明：设过P，Q的直线与AB，AC分别交于P，Q，连结PC，显然，PQ≤PQ．

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因为∠AQP+∠PQC=180°，所以∠AQP和∠PQC中至少有一个直角或钝角．

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若∠AQP≥90°，则PQ≤PQ≤AP≤AB；

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若∠PQC≥90°，则PQ≤PQ≤PC．

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同理，∠APC和∠BPC中也至少有一个直角或钝角，不妨设∠BPC≥90°，则PC≤BC=AB．

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对于P，Q两点的其它位置也可作类似的讨论，因此，PQ≤AB．

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例7、设△ABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B，C到l的距离设为

d，d，求d+d的最大值．

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解如图，延长BA到B′，使AB′=AB，连B′C则过顶点A的直线l或者与BC相交，或

者与B′C相交．以下分两种情况讨论．

(1)若l与BC相交于D，则

所以只有当l⊥BC时，取等号．

(2)若l′与B′C相交于D′，则

所以