1.5 全称量词与存在量词（精讲）（解析版）_1.docx

1.5全称量词与存在量词（精讲）

一．全称量词与全称量词命题

全称

量词

定义

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词

符号表示

?

全称量

词命题

定义

含有全称量词的命题，叫做全称量词命题

一般形式

对M中任意一个x，p(x)成立(说明：M表示变量x的取值范围)

符号表示

?x∈M，p(x)

二．存在量词与存在量词命题

定义

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词

存在量词

符号表示

?

存在量词命题

定义

含有存在量词的命题，叫做存在量词命题

一般形式

存在M中的元素x，p(x)成立(说明：M表示变量x的取值范围)

符号表示

?x∈M，p(x)

三．含量词的命题的否定

命题类型

全称量词命题

存在量词命题

形式

?x∈M，p(x)

?x∈M，p(x)

否定形式

?x∈M，

?x∈M，

结论

全称量词命题的否定是存在量词命题；

存在量词命题的否定是全称量词命题

一．判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路

否定一个含有量词的命题的三点注意

(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题否定的关键；

(2)注意命题的否定与否命题的区别；

(3)当命题否定的真假不易判断时，可以转化为去判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真．

二．求解含有量词的命题中参数范围

1.对于全称量词命题“?x∈M，ay(或ay)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即aymax(或aymin)．

2.对于存在量词命题“?x∈M，ay(或ay)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即aymin(或aymax)．

三．常见正面词语的否定

正面词语

等于

大于()

小于()

是

都是

否定

不等于

不大于(≤)

不小于(≥)

不是

不都是

正面词语

至少有一个

至多有一个

任意的

所有的

至多有n个

否定

一个也没有

至少有两个

某个

某些

至少有n＋1个

考点一全称量词与存在量词

【例1-1】（2023·河南平顶山）下列语句不是存在量词命题的是（????）

A．至少有一个x，使成立 B．有的无理数的平方不是有理数

C．存在，是偶数 D．梯形有两边平行

【答案】D

【解析】对于A，至少有一个x，使成立，有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题；

对于B，有的无理数的平方不是有理数，有存在量词“有的”，是存在量词命题；

对于C，存在，是偶数，有存在量词“存在”，是存在量词命题；

对于D，梯形有两边平行，为梯形几何性质，省略了全称量词“所有”，是全称量词命题．

故选：D.

【例1-2】（2023·四川乐山）下列命题中，不是全称量词命题的是（）

A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数

C．实数都可以写成小数形式 D．存在奇数不是素数

【答案】D

【解析】对A选项，任何是全称量词，故A错误；

对B选项，省略了量词所有，是全称量词，故B错误；

对C选项，省略了量词所有，是全称量词，故C错误；

对D选项，存在是存在量词，故D正确；

故选：D.

【一隅三反】

1．（2023·广西）下列命题中，含有存在量词的是（????）

A．存在一个平行四边形是矩形 B．所有正方形都是平行四边形

C．一切三角形的内角和都等于 D．任意两个等边三角形都相似

【答案】A

【解析】A选项，存在一个平行四边形是矩形含有存在量词；BCD选项，含有全称量词，不含存在量词.

故选：A.

2．（2023·江苏南京）已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0.其中，其中含存在量词的命题的个数是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】①任何实数的平方都是非负数，含全称量词“任何”，不符；

②有些三角形的三个内角都是锐角，含存在量词“有些”，符合；

③每一个实数都有相反数，含全称量词“每一个”，不符；

④所有数与0相乘，都等于0，含全称量词“所有”，不符；

故选：A

3．（2023·北京）下列命题中是存在量词命题的是（????）

A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等

C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数

【答案】D

【解析】根据全称量词和存在量词的定义可知，

A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题；

B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题；

C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题；

D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题.故选：D

考点二全称量词命题与存在量词命题的真假

【例2-1】