线性代数 向量的线性相关性.pptVIP

一、向量的线性相关性

1、根本概念

定义Ⅰ给定向量

，对于任何一组数

,称向量

为向量组

的一个线性组合〔LinearCombination〕.

为组合的组合系数〔CombinationCoefficient〕.

定义Ⅱ设向量组

及向量β有关系

那么β称为向量组的一个线性组合，或称β可由向量组Ａ

线性表示(线性表出)〔LinearExpression〕.

称为β在该线性组合下的组合系数.

①假设α＝kβ，那么称向量α与β成比例．

②零向量Ｏ是任一向量组的线性组合．

④任一n维向量

都是根本向量组

的一个线性组合．

⑤向量β可由

线性表示，

即方程组

事实上，有

③向量组中每一向量都可由该向量组线性表示．

有解.

定义Ⅲ设n维向量组

为零的数

，使得

那么称向量组

,如果存在不全

线性相关〔LinearDependent〕.

反之，假设当且仅当

，才有

那么称向量组

线性无关〔LinearIndependent〕.

②单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量．

③单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量．

④一向量组中存在一个Ｏ向量，那么一定线性相关．

①对于一个向量组，不是线性相关就是线性无关．

⑤一个向量组中假设局部向量线性相关，那么整个向量组也线性相关；一个向量组假设线性无关，那么它的任何一个局部组都线性无关．

⑧几何上：两向量线性相关两向量共线；

⑥两向量线性相关两向量对应成比例

三向量线性相关三向量共面.

⑦两向量线性无关两向量不对应成比例

注意：向量组

线性相关性完全由

方程组

的解决定.

二、线性相关性的判断准那么

定理向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；

定理向量组线性相关齐次线性方程组有非零解.

向量组线性无关任何一个向量都不能由其向量线性表示．

定理

向量组线性相关至少有一个向量可由其余向量线性表示．

定理

证

∵Ａ线性相关，

得证

至少有一个系数不为零，不妨设

定理

如果向量组

线性相关，那么α可由Ａ唯一线性表示.

线性无关，而向量组

证

设

∵Ａ线性无关，而向量组B线性相关，

∴k≠０，〔否那么与Ａ线性无关矛盾〕

∴α可由Ａ线性表示.

下证唯一性：

两式相减有

∵Ａ线性无关，

即表达式唯一.

即有

设

定理

设向量组

假设Ａ线性相关,那么向量组B也线性相关；反之，假设

向量组B线性无关，那么向量组Ａ也线性无关.

定理

设向量组

假设Ａ线性无关，那么向量组B也线性无关；反之，假设

向量组B线性相关，那么向量组Ａ也线性相关.

其中

注意：以上两个定理完全不同，千万不要混淆，第一个定理中是向量的个数变，在方程组中表达在未知数的个数变；第二个定理中是向量的维数变，在方程组中表达在方程的个数变.

三、应用举例

那么〔〕