人教A版高中数学（选择性必修第一册）同步讲义+题型讲解第17讲 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（教师版）.docVIP

第

第PAGE1页共NUMPAGES59页

2.5.1直线与圆的位置关系

课程标准

学习目标

①理解与掌握直线与圆的位置关系的判定方法的代数法与几何法。

②会求与圆有关的直线方程与圆的方程。

③会根据直线与圆的位置关系求坐标、长度、面积、周长等。

④会求待定参数并能解决与之相关的综合问题。

通过本节课的学习，会判断直线与圆的位置关系，会求切线方程、弦长及弦所在的直线方程，会根据直线与圆的位置求待定参数及圆的方程，能解决与直线、圆有关的综合问题.

知识点01：直线与圆的位置关系

1、直线与圆的三种位置关系

直线与圆

的位置关

系的图象

直线与圆的

位置关系

相交

相切

相离

2、判断直线与圆的位置关系的两种方法

2.1几何法（优先推荐）

图象

位置关系

相交

相切

相离

判定方法

；

。

圆心到直线的距离：。

圆与直线相交。

；

。

圆心到直线的距离：。

圆与直线相切。

；

。

圆心到直线的距离：。

圆与直线相离。

2.2代数法

直线：；圆

联立消去“”得到关于“”的一元二次函数

①直线与圆相交

②直线与圆相切

③直线与圆相离

【即学即练1】（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）直线与曲线的交点个数为（????）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【详解】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆，

联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义.

联立，解得或，所以直线与有两个交点.

所以直线与曲线的交点个数为2个.

故选：B

知识点02：直线与圆相交

记直线被圆截得的弦长为的常用方法

1、几何法（优先推荐）

①弦心距（圆心到直线的距离）

②弦长公式：

2、代数法

直线：；圆

联立消去“”得到关于“”的一元二次函数

弦长公式：

【即学即练2】（2023春·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知直线：与圆交于两点，则____________.

【答案】

【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径为，

又由圆心到直线的距离为，

根据圆的弦长公式，可得.

故答案为：.

知识点03：直线与圆相切

1、圆的切线条数

①过圆外一点，可以作圆的两条切线

②过圆上一点，可以作圆的一条切线

③过圆内一点，不能作圆的切线

2、过一点的圆的切线方程（）

①点在圆上

步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则

步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点）

②点在圆外

记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出

（注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为）

3、切线长公式

记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；

【即学即练3】（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为______.

【答案】

【详解】圆的圆心为，

在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接．

在中，．要使最小，则应最小．

又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为．故的最小值为．

??

故答案为：.

知识点四：圆上点到直线的最大（小）距离

设圆心到直线的距离为，圆的半径为

①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；

②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；

③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；

【即学即练4】（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知直线上的两点，且，点为圆上任一点，则的面积的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】把圆变形为，则圆心，半径，

圆心到直线的距离，

则圆上的点到直线的距离的最大值为，又，

∴的面积的最大值为．故选：A．

题型01判断直线与圆的位置关系

【典例1】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）坐标轴与圆的交点个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】圆，即圆，所以圆，半径，

因为圆心到轴的距离为1，且，所以圆与轴相交，即与轴有两个交点，

因为圆心到轴的距离为2，且等于半径，所以圆与轴相切于点，即与轴有一个交点，

综上坐标轴与圆有3个交点，故选：C

【典例2】（2023春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）圆上到直线距离为的点有（????）

A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个

【答案】B

【详解】因为化为标准方程为，所以圆心，圆的半径，又因为圆心C到直线的距离为，所以，所以过圆心平行于直线的直线与圆有2个交点，另一条与直线的距离为的平行线与圆相切，只有1个交点，如图所示，

所以圆C上到直线的距离为的点共有3个.故选：B.

【典例3】（多选）（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知直线：与圆：．则下列说法正确的是（????）

A