18.2.1矩形的性质与判定(精讲)-【重要笔记】2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)(原卷版+解析).docxVIP

18.2.1矩形的性质与判定

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

注意：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.

矩形的性质

1.矩形具有平行四边形的所有性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是直角；

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

注意：

（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.

（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.

（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.

题型1：理解矩形的性质

1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A．两组对边分别相等B．对角线相等C．两组对边分别平行D．对角线互相平分

【变式1-1】矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，3），则点D坐标为．

【变式1-2】∠A和∠C是矩形ABCD的一组对角，则：①∠A与∠C相等；②∠A与∠C互补；③∠A是直角；④∠C是直角，以上结论中，正确的有．

题型2：利用矩形的性质判定三角形全等

2.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．求证：△ACD≌△EDC．

【变式2-1】已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．

【变式2-2】如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的中点．求证：AE＝BE．

题型3：矩形的性质与求角度

3.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DGF等于（）

A．70° B．60° C．80° D．45°

【变式3-1】用两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，一把直尺压住射线OB交射线OA于点M，另一把直尺压住射线OA交第一把直尺于点P，作射线OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（）

A．46° B．52°

C．56° D．62°

【变式3-2】如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝70°，则∠BAC的度数是（）

A．40° B．45° C．50° D．60°

题型4：矩形的性质与求线段

4.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（）

A．4 B．4 C．3 D．5

【变式4-1】如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝．

【变式4-2】如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长是．

题型5：矩形性质综合

5.如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（）

A．3 B．6 C．9 D．12

【变式5-1】如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．

（1）求证：四边形ANCM为平行四边形．

（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，则DM的长为．

【变式5-2】如图，已知矩形ABCD，延长CB至点E，使得BE＝BC，对角线AC，BD交于点F，连结EF．

（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；

（2）若BC＝4，CD＝8，求EF的长．

直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

注意：

（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.

（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.

（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.

题型6：直角三角形斜边中线等于斜边的一半

6.直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（）

A．6 B．6.5 C．10 D．13

【变式6-1】如图，在△AEC、△BED中，∠AEC＝∠BED＝90°，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点．求证：四边形ABCD是矩形．

【变式6-2】如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．

（1）求证：