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课时规范练37空间几何体的表面积与体积
基础巩固组
1.(北京,4)某四面体的三视图如图所示,该四面体的表面积为()
A.3+32 B.4
答案:A
解析:根据三视图可得该几何体为正三棱锥,其三个侧面为全等的等腰直角三角形,底面为等边三角形,由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1,故其表面积为3×12×1×1+34×(
2.(云南昆明三模)已知平面α截球O所得截面圆半径为3,该球面上的点到平面α的距离最大值为3,则球O的表面积为()
A.4π B.8π C.16π D.32π
答案:C
解析:依题意得截面圆半径r=3,设球O的半径为R,则球心O到截面圆的距离d=3-R.由勾股定理得R2=(3-R)2+(3)2,解得R=2,
所以球O的表面积为4πR2=16π.
3.(广西来宾、玉林、梧州4月联考)为了方便向窄口容器中注入液体,某单位设计一种圆锥形的漏斗,设计要求如下:该圆锥形漏斗的高为8cm,且当窄口容器的容器口是半径为1cm的圆时,漏斗顶点处伸入容器部分的高为2cm,则制造该漏斗所需材料面积的大小约为()(假设材料没有浪费)
A.125πcm2 B.85π
C.165πcm2 D.185π
答案:C
解析:设漏斗底面半径为r,由题意得1r=28,即r=4cm,所以该圆锥的母线长为l=82+r
4.(山东潍坊一模)某中学开展劳动实习,学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为6的正六边形硬纸片,如图所示,裁掉阴影部分,然后按虚线处折成高为3的正六棱柱无盖包装盒,则此包装盒的容积为()
A.144 B.72 C.36 D.24
答案:B
解析:如图,
由正六边形的每个内角为2π3,按虚线处折成高为3的正六棱柱,即BF=3
所以BE=BFtan60
所以此包装盒的容积V=6×34×4
5.(陕西宝鸡二模)如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()
A.8-π B.8-π3
答案:B
解析:由三视图可得,该几何体为一个三棱锥(其底面是边长为2的正方形,高为2),去掉半个圆锥(其底面半径为1,高为2),所以该几何体的体积V=13×2×2×2-12×
6.(四川成都三诊)在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,PA=AB=AC=2,∠BAC=2π3
A.1 B.2 C.3
答案:D
解析:在△ABC中,设其外接圆半径为r,由正弦定理可得ABsin∠ACB=2sinπ6=2r,解得r=2,三棱锥P-ABC补成三棱柱ABC-PB1C1,点O1,O2分别是△ABC,△PB1C1的外心,连接O1O2,则球心O是O1
7.(青海西宁一模)在等腰三角形ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,以底边BC所在直线为轴旋转围成的封闭几何体内装有一球,则球的最大体积为()
A.32π B.2
答案:A
解析:如图,据题意可得几何体的轴截面为边长为2、邻边的一夹角为60°的菱形,即菱形中的圆与该菱形内切时,球的体积最大,可得内切圆的半径r=|OM|=|OA|·cos30°=|AB|·sin30°·cos30°=2×12×32=32,故V=
8.(四川成都七中高三月考)已知正三棱柱的高与底面边长均为2,则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为()
A.17 B.77
答案:A
解析:设正三棱柱ABC-A1B1C1,取三棱柱ABC-A1B1C1的两底面中心O,O1,连接OO1,
取OO1的中点D,连接BD,则BD为正三棱柱外接球的半径.∵△ABC是边长为2的正三角形,O是△ABC的中心,∴BO=23×32×2=233.又OD=
∴BD=O
正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为4π×BD2=28π3.根据题意可知,当一个球的半径r等于底面正三角形内切圆的半径时,这个球是正三棱柱内半径最大的球,即r=36×2=33,∴正三棱柱ABC-A1B1C1内半径最大的球表面积为4π×r2=4π
9.(山东烟台二模)在一次综合实践活动中,某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型,底面ABCD为边长是4的正方形,半圆面APD⊥底面ABCD.当点P在半圆弧AD上(不含A,D点)运动时,三棱锥P-ABD的外接球的表面积为.?
答案:32π
解析:∵四边形ABCD是边长为4的正方形,∴BD=42.易知AP⊥PD,∵平面APD⊥平面ABCD,平面APD∩平面ABCD=AD,AB⊥AD,∴AB⊥平面APD,∴AB⊥PD.又PD⊥AP,∴PD⊥平面ABP,∴PD⊥PB.取BD的中点O,连接OA,OP,则OP=OB=OD=OA,即点O是三棱锥P-ABD外接球的球心,球半径R=12BD=22,∴该外接球的表面积为S=4πR
综合提升组
10.(四川达州
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