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空间向量的数量积运算》教学设计

教学设计

3.1.3空间向量的数量积运算

整体设计

本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上，引

入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空

间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律，并举例

说明利用向量的数量积解决问题的基本方法。

传统的解立体几何题需要有较强的空间想象能力、逻辑推

理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题

困难。用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的

障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，

具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应

用数学的能力也得到了锻炼和提高。

课时分配：1课时

教学目标

知识与技能：

1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法；

2.掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；

3.掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何

中的一些简单问题。

过程与方法：

1.运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推

广的过程；

2.引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意

义。

情感、态度与价值观：

1.培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综

合自学应用能力；

2.培养学生空间向量的应用意识。

重点难点

教学重点：

1.空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义；

2.空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用。

教学难点：

1.空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用；

2.空间向量的数量积运算及其几何应用和理解。

教学过程

引入新课

提出问题：已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为AA′

的中点，点F在线段D′C′上，D′F＝FC′，如何确定BE，FD

的夹角？

活动设计：

教师设问：平面向量的夹角问题是如何求得的？是否可将

平面内求得两向量的夹角公式推广到空间？公式的形式是否会

有所变化？

学生活动：回顾平面向量数量积、向量夹角公式；类比猜

想空间向量夹角公式的形式。

设计意图：问题的给出，一时之间可能会使学生感到突然，

但预计应该会联想到平面向量的夹角公式，由此作一番类比猜

想，起到温故知新的作用。

探究新知

提出问题1：空间向量的夹角应该怎样定义，怎样表示？

夹角的取值范围是什么，怎样定义向量垂直？

在本节课中，我们将研究空间向量的数量积运算。首先，

我们需要了解空间向量的夹角概念及表示方法。空间向量的夹

角是指两个向量之间的夹角，可以用向量的数量积公式来表示。

夹角的取值范围是[0.π]，当且仅当两个向量共线时夹角为0或

π，当两个向量垂直时夹角为π/2.此外，我们还需要了解向量

垂直的定义，即两个向量的数量积为0时，它们是垂直的。

接下来，我们将研究两个向量数量积的概念、计算方法、

性质和运算律。两个向量数量积的计算方法是将两个向量的对

应分量相乘再相加。它具有交换律、结合律和分配律等运算律。

同时，我们还需要了解两个向量数量积的几何意义，即它等于

其中一个向量在另一个向量方向上的投影长度与这个向量的长

度的乘积。这个几何意义在解决立体几何问题时非常有用。

最后，我们将举例说明利用向量的数量积解决问题的基本

方法。例如，在正方体ABCD—A′B′C′D′中，已知E为AA′的

中点，点F在线段D′C′上，D′F＝FC′，则可用向量的数量积

来求解BE，FD的夹角。

总结归纳

本节课我们研究了空间向量的数量积运算，包括空间向量

的夹角概念及表示方法、两个向量数量积的概念、计算方法、

性质和运算律，以及两个向量数量积在解决立体几何问题中的

应用。通过本节课的研究，我们可以更好地理解空间向量的运

算和应用，提高解决立体几何问题的能力。

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