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HPM视角下的线面垂直判定定理教学设计

与实施

作者：胡佳婧张亚琦

来源：《中小学课堂教学研究》2019年第01期

【摘要】[HT5K]研究者从HPM的视角来设计与实施线面垂直的教学，并加入线面垂直判

定定理的证明，培养学生的逻辑推理素养。同时，研究者利用数学史揭示线面垂直判定定理背

后的人文元素，让学生了解不同时空数学家的贡献，突显人文元素，展现“文化之魅”，彰显数

学“德育之效”。

【关键词】[HT5K]HPM；线面垂直；定理教学；数学文化

【作者简介】胡佳婧，中学一级教师，主要从事数学史与高中数学教学研究；张亚琦，

华东师范大学教师教育学院硕士研究生，主要从事数学史与数学教育研究。[FQ）]

一、引言

“线面垂直”是沪教版高三数学上册第14章中“空间直线与平面的位置关系”的内容。教材

通过旗杆与地面的位置关系引出线面垂直问题，并给出定义，再根据如何确保旗杆垂直于地

面，得到线面垂直判定定理，但教材并未给出定理的证明。这样的设计，虽然能使抽象的数学

问题生活化，便于学生理解，但在教学实践中笔者发现，学生心中会存在疑惑：真的能通过判

定定理判断直线与平面垂直吗？这一结论是如何得到的？该如何证明呢？在教学设计中，教师

一般通过实验操作来验证定理的正确性，包括动态观察旗杆与影子的关系[1-2]和折纸实验[3-

8]；只有极少数的教学设计在操作的基础上给出严格的定理证明[9]。我们很少看到从HPM视

角下的教学设计。

历史上，关于线面垂直的判定定理有许多精彩的证明方法，有些证明方法对于高中学生来

说是易于理解与掌握的。《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出，要在数学教学中落

实培养学生的逻辑推理素养，并要求适当渗透数学文化。数学史恰恰能帮助我们达到这些目

标。历史提供的不同观点和不同表征方式，既可以指导教学，又可以让学生认识到数学是经历

演进过程的学科，而不是从天上掉下来的[10]。

因此，我们可以从HPM的视角来设计与实施线面垂直的教学，加入线面垂直判定的证

明，培养学生的逻辑推理素养；同时，还可以利用数学史揭示线面垂直判定定理背后的人文元

素。此外，教师介绍中国古代的立体图形，让学生感受数学文化的同时，激发学生的民族自豪

感。

为此，我们拟订本节课的教学目标如下：

①学生能掌握线面垂直的定义、性质与判定定理；

②学生会利用线面垂直的性质与判定定理进行一些简单的推理，解决空间距离问题；

③让学生了解历史上精彩的线面垂直判定定理的证明方法，培养学生的逻辑推理素养，

增加学生数学学习的自信心，树立正确的数学观；

④让学生了解中国古代的立体图形，渗透数学文化，培养学生的爱国主义情怀。

二、历史材料及其运用

西方早期的几何教科书给出了线面垂直判定定理的许多严格证明。这些证明分属两个传

统，一是欧几里得传统，二是引理法传统[11]。本节课采用的历史素材有克莱罗的直观解释、

对称法和勒让德证法，运用引理法的错误证明方法，以及中国古代的基本立体图形。

历史上线面垂直判定定理的证明1

（1）克莱罗的直观解释

法国数学家克莱罗（ACClairaut）在《几何基础》中并未给出线面垂直判定定理的严格证

明，但他给出了直观的解释。如图1所示，AB为长方形CDEF对折后的折痕，将所折线段

BC、BD分别与平面上过点B且垂直于AB的两条已知直线贴合，则AB与平面垂直。这一解

释为本节课的设计提供了借鉴。教师利用克莱罗的折纸模型引出主题，并借助模型引导学生一

起探究线面垂直的定义。

[XCM12.TIF][TS（（图图克莱罗的直观解释[TS）]

（2）对称法和勒让德证法

对称法出现于美国数学家泰班（E.T.Tappan）的《平面与立体几何》中。如图2所示，

已知直线AB⊥AC，AB⊥AD，在AC和AD上各取点C和D，连接CD，过点A在AC和AD

所在平面上任作一条直线，交CD于点E。为证明AB⊥AE，延长BA至B′，使AB=AB′，连

接BC，BD，BE，B′C，B′D和B′E，根据中垂线定理可知，BC=B′C，BD=B′D，故

∠BCE=B′CE，从而△BCE[XC=.TIF，JZ]△B′CE，BE=B′E，即可得到AB⊥AE。由AE的任