北师版高考文科数学一轮总复习课后习题 第9章 解析几何 高考解答题专项五 第1课时 圆锥曲线中的最值(或范围)问题.docVIP

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第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题

1.(全国乙,文20)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)求C的方程;

(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值.

解:(1)在抛物线C中,焦点F到准线的距离为p,故p=2,C的方程为y2=4x.

(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2).

又F(1,0),则PQ=(x2-x1,y2-y1),QF=(1-x2,-y2).

因为PQ=9QF,所以x2-x1=9(1-x2),y2-y1=-9y2,

得x1=10x2-9,y1=10y2.

又因为点P在抛物线C上,所以y12=4x1,所以(10y2)2=4(10x

则点Q的轨迹方程为y2=25x-9

易知直线OQ的斜率存在.

设直线OQ的方程为y=kx,当直线OQ和曲线y2=25x-9

由y=kx,y2=25x-9

即k2x2-25x+9

当直线OQ和曲线y2=25x-925相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即-252-4k2·9

2.(浙江温州模拟,21)已知抛物线E:x2=4y与椭圆C:y2a2+x2b

(1)求椭圆C的方程;

(2)求△MAB面积的最小值.

解:(1)由抛物线E:x2=4y,得其焦点坐标为(0,1),

故椭圆的焦点也为(0,1),∴c=1,由椭圆的离心率为e=ca

∴b=3,椭圆C的方程为y2

(2)由(1)可知,椭圆的上顶点的坐标为(0,2),

设M(:y-y1=x12(:y-y2=x2

所以y

所以直线AB的方程为y0-y=x2(x0

化简可得x0x=2(y+y0),

又直线AB经过椭圆的上顶点,所以y0=-2,所以直线AB的方程为x0x=2(y-2),

联立方程x0x=2(y-2),x

∴x2-2x0x-8=0,Δ=4x0

|AB|=1+x

M到直线AB的距离d=|x

∴S=12×1+x024×4x0

3.(河南郑州三模,理20)已知抛物线C:x2=4y和圆E:x2+(y+1)2=1,过抛物线上一点P(x0,y0)作圆E的两条切线,分别与x轴交于A,B两点.

(1)若切线PB与抛物线C也相切,求直线PB的斜率;

(2)若y0≥2,求△PAB面积的最小值.

解:(1)设切线PB的方程为y=k=0,即k2+m=0,

由直线与圆相切可得圆心到直线的距离d=|m+1|1+k2

所以m2+3m=0,m=-3或m=0(舍去),k2=3,k=±3.

(2)因为y0≥2,所以切线PA,PB的斜率一定存在.设圆E的切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0,圆心到直线的距离d=|1+

整理得(x02-1)k2-(2x0y0+2x0)k+y0

设PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=2x0y0+2x0x02-1,k1k2=y0

|AB|=x0-y0k1-x0-y0k2=k1-k2k1k2·y0=

S△PAB=12|AB|·y0=12·2y

令f(y)=(y

所以f(y)=2y2(

所以S△PAB的最小值为2.

4.(黑龙江哈尔滨三中一模,文20)已知平面内的两个定点F1,F2,|F1F2|=23,平面内的动点M满足|MF1|+|MF2|=4.记M的轨迹为曲线E.

(1)请建立适当的平面直角坐标系,求E的方程;

(2)过F2作直线l交曲线E于A,B两点,若点O是线段F1F2的中点,点C满足OC=-32OA,求

解:(1)M满足|MF1|+|MF2|=4|F1F2|,由椭圆的定义知动点M的轨迹为椭圆,以F1F2的中点为原点,直线F1F2为x轴,以过F1F2的中点且垂直于F1F2的直线为y轴建立平面直角坐标系,由题意,得2c=23,2a=4,

所以b2=a2-c2=1,故E的方程为x24+y

(2)因为F2(3,0),设直线l:x=my+3,A(x1,y1),B(x2,y2),

联立x24+y2=1,

由于Δ=16(m2+1)0恒成立,则有y1+y2=-23mm2+4,y1y2=-1m2

点O到直线l的距离d=31+

则S△AOB=12|AB|·d=231+m2

又由于OC=-32OA,知S△ABC=52S△AOB

此时直线l的方程为x=±2y+3,即x+2y-3=0,或x-2y-3=0.

5.已知椭圆E:x2t+

(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;

(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.

解:(1)当t=4时,E的方程为x2

直线AM的方程为y=k(x+2),

代入椭圆方程,消去y,整理可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,

解得x=-2或|=1+k2·2-8k2-

由MA⊥NA,直线NA的斜率为-1k

所以|AN|=1+1

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