北师版高考文科数学一轮总复习课后习题 第9章 解析几何 高考解答题专项五 第2课时 圆锥曲线中的定点(或定值)问题.docVIP

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第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题

1.(山东泰安三模,21)已知椭圆x2a2+y

(1)求椭圆的标准方程;

(2)直线l与椭圆交于C,D两点,若直线l∥AB,设直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,证明:k1·k2为定值.

解:(1)直线AB的方程为xa+y

因为三角形OAB的面积为1,所以12

所以椭圆的标准方程为x24+y

(2)直线AB的斜率为-12,设直线l的方程为y=-12x+t,C(x1,y1),D(x2,y

把方程y=-12x+t与x24+y2=1联立,消去x,整理得2y2-2ty+t2-1=0,Δ=(-2t)2-4×2×(t2

即t22,此时有y1+y2=t,y1y2=t2

所以k1k2=y1

所以x1x2-2x2=4(t-y1)(t-y2)-4(t-y2)=4[t2-t(y1+y2)+y1y2-t+y2]=4[(y1+y2)2-(y1+y2)(y1+y2)+y1y2-(y1+y2)+y2]=4(y1y2-y1),所以k1·k2=14

2.(江苏盐城滨海中学一模,21)在平面直角坐标系中,已知圆心为点Q的动圆恒过点F(1,0),且与直线x=-1相切.设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ.

(1)求曲线Γ的方程;

(2)过点F的两条直线l1,l2与曲线Γ相交于A,B,C,D四点,且M,N分别为AB,CD的中点.设l1与l2的斜率依次为k1,k2,若k1+k2=-1,求证:直线MN恒过定点.

(1)解设Q(x,y),依题意可得|x+1|=(-1)2

(2)证明设l1,l2的方程为y=k1(x-1),y=k2(x-1).

联立y=k1(x-1),y2=4x,得k

同理Nk22+2k22,2k2,由k1+k2=-1,所以kMN=2k1-2k

所以直线MN的方程为y-2k1=k1(1+k1)x-k12+2k1

3.(北京平谷一模,19)已知椭圆C:x2a2+y

(1)求椭圆C的方程;

(2)设过点P的直线与x轴交于N点,与椭圆的另一个交点为B,点B关于x轴的对称点为B,直线PB交|·|ON|为定值.

(1)解由已知ca=12,3b2=1,a2=b

所以椭圆C:x2

(2)证明证法1由已知直线PB的斜率存在,以下给出证明:

由题意,设直线PB的方程为y=kx+3(k≠0),P(0,3),B(x1,y1),则B(x1,-y1).

由3x2+4y2=12,y=kx+3,得(3+4k2)x2+8

所以B-83k3+4k2,-83k23+4k2+3

直线PB的方程为y-43k2-3

令y=0,得x=(-4

所以M(-43k2

令y=0,由y=kx+3得x=-3k,所以N-3k,0,

所以|OM|·|ON|=(-43k2-33)

证法2设B(x0,y0),B(x0,-y0),则x024

令y=0,x=3x03-y0

同理M3x03+

所以|OM|·|ON|=3x03+y0·3x03

因为x024+y023=1,所以3x02+4

4.(全国Ⅰ,文21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.

(1)若A在直线的半径;

(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.

解:(1)因为☉M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线在直线y=与直线的半径为r=|a+2|.

由已知得|AO|=2,又MO⊥AO,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故

(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.

理由如下:

设M(的半径为r=|x+2|,|AO|=2.

由于MO⊥AO,故可得x2+y2+4=(的轨迹方程为y

因为曲线C:y2=4P|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.

5.(安徽池州4月模拟,文20)已知平面直角坐标系内动点P到点M(-1,0)的距离比它到直线x=2的距离少1.记点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程;

(2)已知A,B两点在曲线C上,满足OA·

解:(1)由题意知,点P到点M(-1,0)的距离与它到直线(-1,0)为焦点,以x=1为准线的抛物线,则p=2,

所以抛物线的方程为y2=-4x.

(2)由于A,B两点在曲线C上,则直线AB不平行于y+n,A(x1,y1),B(x2,y2).

由x=my+

即m2-n0,y1+y2=-4m,y1y2=4n.

所以x1x2=-y124-y224=n

而OA·OB=x1x2+y1y2=n2+4n,所以n

因此直线AB:(-1,0)到直线AB距离的最大值为|MN|=1.

6.(山西太原二模,文21)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别是点A,B,直线l:x