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中值定理(meanvaluetheorem)

第三章微分中值定理与导数的应用

因为导数是函数随自变量变化的瞬时变

建立了函数在区间上的平均变化率与

在区间内一点的瞬时变化率间的联系。

化率,所以可借助导数来研究函数.但每一点

的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,

要用导数来研究函数的全部性态,还需架起新

的“桥梁”.

1

第一节微分中值定理

罗尔定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

小结

2

第三章微分中值定理与导数的应用

微分中值定理

连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直

于x轴的切线.

本节的几个定理都来源于下面的明显的

几何事实:

⌒

在一条光滑的平面曲线段AB上,至少有

一点处的切线与连接此曲线两端点的弦AB

平行.yf(a)f(b)有水平的切线

Cf()0

Byf(x)

AB

A

Oa12bx3

微分中值定理

罗尔Rolle,(法)1652-1719

一、罗尔(Rolle)定理

罗尔定理若函数f(x)满足:

(1)在闭区间[a,b]上连续;

(2)在开区间(a,b)内可导;

(3)f(a)f(b),

则至少存在一点(a,b),使得

f()0.

如,f(x)x22x3(x3)(x1).

在[1,3]上连续,在(1,3)内可导,且f(1)f(3)0,

f(x)2(x1),取1,(1(1,3))f()0.

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微分中值定理

费马Fermat,(法)1601-1665

f(x)xU(x)

费马引理设函数在点的某邻域内

00



f(x),