第四板块 创新强化练 “统计与概率”创新考法专训.DOC

第四板块创新强化练“统计与概率”创新考法专训

1．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，下列四个命题：

甲：P(Xm＋1)P(Xm－2)；乙：P(X≥m)＝0.5；丙：P(X≤m)＝0.5；丁：P(m－1Xm)P(m＋1Xm＋2)，如果有且只有一个是假命题，那么该命题是()

A．甲B．乙C．丙D．丁

解析：选D因为P(X≥m)＝0.5，P(X≤m)＝0.5均等价于μ＝m，

由题意可得乙，丙均为真命题，且μ＝m.对于甲：因为P(Xm＋1)＝P(Xm－1)P(Xm－2)，故甲为真命题；对于丁：因为P(m－1Xm)＝P(mXm＋1)P(m＋1Xm＋2)，故丁为假命题．

2．(2023·赤峰模拟)如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分称为“阿基米德多面体”，它是一个24等边半正多面体．从它的棱中任取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率为()

A.eq\f(10,23)B.eq\f(12,23)C.eq\f(29,69)D.eq\f(50,69)

解析：选B当一条直线位于上(或下)底面，另一条不在底面时，共有10×8＝80对异面直线，

当两条直线都位于上、下底面时，有4×2＝8对异面直线，

当两条直线都不在上、下底面时，有7×8＝56对异面直线，

所以两条棱所在的直线为异面直线的概率为P＝eq\f(80＋8＋56,C\o\al(2,24))＝eq\f(12,23).

3．(2023·金华模拟)某市举行一环保知识竞赛活动．竞赛共有“生态环境”和“自然环境”两类题，每类各5题．其中每答对1题“生态环境”题得10分，答错得0分；每答对1题“自然环境”题得20分，答错扣5分．已知小明同学“生态环境”题中有3题会作答，而答对各个“自然环境”题的概率均为eq\f(2,5).若小明同学在“生态环境”题中抽1题，在“自然环境”题中抽3题作答，每个题抽后不放回．则他在这次竞赛中得分在10分以下(含10分)的概率为()

A.eq\f(81,625) B.eq\f(243,625)

C.eq\f(189,625) D.eq\f(162,625)

解析：选B小明在这次竞赛中得分在10分以下(含10分)的事件为A，“生态环境”题答对且“自然环境”题全错的事件为A1，“生态环境”题答错且“自然环境”题最多答对1题的事件为A2，显然A1与A2互斥，A＝A1＋A2，P(A1)＝eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))3＝eq\f(81,625)，P(A2)＝eq\f(2,5)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(1,3)×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＋Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))))3＝eq\f(162,625)，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(243,625).

4．(2023·银川模拟)泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为P(x＝k)＝eq\f(λk,k！)e－λ(k＝0,1,2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中λ＝np.一般地，当n≥20而p≤0.05时，泊松分布可近似作为二项分布．若随机变量X～B(1000，0.001)，P(X≥2)的近似值为()

A．1－eq\f(1,e) B．1－eq\f(2,e)

C．1－eq\f(e,4) D．1－eq\f(1,e2)

解析：选B由题，n＝1000≥20，p＝0.001≤0.05，泊松分布可近似作为二项分布，

此时λ＝1000×0.001＝1，所以P(X＝k)＝eq\f(1,k！)e－1，

所以P(X＝0)＝eq\f(1,0！)e－1＝eq\f(1,e)，

P(X＝1)＝eq\f(1,1！)e－1＝eq\f(1,e)，

则P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－eq\f(2,e).

5．[多选]已知随机变量X的概率密度函数为φ(x)＝eq\f(1,\r(2π)a)e－eq\f(?x－b?2,2a2)(a0，b0)，且φ(x)的极大值点为x＝2a，记f(k)＝P(Xk)，g(k)＝P(Xk＋a)，则()

A．X～N(b，a)

B．X～N(2a，a2)

C．f(a)＝g(2a)

D．f(