第一板块 小题保分练（三） 平面向量的基本运算及应用.DOC

第一板块小题保分练（三）平面向量的基本运算及应用

1．已知平面向量a与b的夹角为eq\f(π,3)，若a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝()

A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．4D．12

解析：选B由a＝(2,0)，得|a|＝2.所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋2b))2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×coseq\f(π,3)＋4＝12，故|a＋2b|＝2eq\r(3).

2.(2023·汕头三模)如图，点D，E分别为AC，BC的中点，设eq\o(AB,\s\up6(―→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(―→))＝b，F是DE的中点，则eq\o(AF,\s\up6(―→))＝()

A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b B．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b

C.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b D．－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b

解析：选C由已知，得eq\o(AF,\s\up6(―→))＝eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\o(DF,\s\up6(―→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(―→))＋eq\f(1,2)eq\o(DE,\s\up6(―→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(―→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(―→))，即eq\o(AF,\s\up6(―→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b.

3．(2023·潍坊模拟)已知a，b是平面内两个不共线的向量，eq\o(AB,\s\up6(―→))＝a＋λb，eq\o(AC,\s\up6(―→))＝μa＋b，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件是()

A．λ－μ＝1 B．λ＋μ＝2

C．λμ＝1 D.eq\f(λ,μ)＝1

解析：选C因为A，B，C三点共线的充要条件是eq\o(AB,\s\up6(―→))＝meq\o(AC,\s\up6(―→))且m∈R，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mμ＝1，,λ＝m，))故λμ＝1.

4．(2023·太原模拟)已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2eq\r(3)，且a⊥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))，则a在b方向上的投影向量为()

A．aB.eq\f(3,4)bC.eq\f(\r(3),4)bD.eq\f(\r(3),3)a

解析：选B由a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝0，

∴|a|2－a·b＝0，于是a·b＝9.∴a在b方向上的投影向量为eq\f(a·b,|b|)×eq\f(b,|b|)＝eq\f(9,2\r(3))×eq\f(b,2\r(3))＝eq\f(3,4)b.

5．(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则eq\o(EC,\s\up6(―→))·eq\o(ED,\s\up6(―→))＝()

A.eq\r(5)B．3C．2eq\r(5)D．5

解析：选B法一：由题意知，eq\o(EC,\s\up6(―→))＝eq\o(EB,\s\up6(―→))＋eq\o(BC,\s\up6(―→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→))，eq\o(ED,\s\up6(―→))＝eq\o(EA,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→))，

所以eq\o(EC,\s\up6(―→))·eq\o(ED,\s\up6(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(―→))＋\o(AD,\s\up6(―→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(―→))＋\o(AD,\s\up6(―→))))＝|eq\o(AD,\s\up6(―→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(AB,\s\up6(―→))|2＝4－1＝3，故选B.

法二：以点A为坐标原点，eq\o(AB,\s\up6(―→))，eq\o(AD,\s\up6(―→))的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系,则E(1,0)，C(2,2)，D(0,2)，则eq\o(E