一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础.pdf

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础）

【学习目标】

1.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范

围；

2.掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.

【要点梳理】

知识点一、一元二次方程根的判别式

1.一元二次方程根的判别式

一元二次方程ax2bxc0(a0)中，b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的

根的判别式，通常用“”来表示，即2

b4ac

（1）当△0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

（2）当△0时，一元二次方程有2个相等的实数根；

（3）当△0时，一元二次方程没有实数根.

要点诠释：

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c

的值；③计算b24ac的值；④根据b24ac的符号判定方程根的情况.

2.一元二次方程根的判别式的逆用

在方程2中，

axbxc0a0

（1）方程有两个不相等的实数根b24ac﹥0；

（2）方程有两个相等的实数根b24ac0；

（3）方程没有实数根b24ac﹤0.

要点诠释：

（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；

（2）若一元二次方程有两个实数根则b24ac≥0.

知识点二、一元二次方程的根与系数的关系

1.一元二次方程的根与系数的关系

如果一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x，x，

12

bc

那么xx，xx.

1212

aa

注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系

数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

2.一元二次方程的根与系数的关系的应用

(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；

(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；

(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x、x的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些12

重要变形；如：

①222；

xx(xx)2xx

121212

11xx

12

②；

xxxx

1212

③xx2x2xxx(xx)；

12121212

222

xxxx(xx)2xx

21121212

④；

xxxxxx

121212

⑤22；

(xx)(x