一元二次方程的应用--知识讲解（基础）.pdf

一元二次方程的应用--知识讲解（基础）

【学习目标】

1.通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一

般步骤；

2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.

【要点梳理】

要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤

1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

2.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；

验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）

答(写出答案，切忌答非所问).

要点诠释：

列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

要点二、一元二次方程应用题的主要类型

1.数字问题

(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、

千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字

只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用

其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位

数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：

100c+10b+a.

(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.

如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.

几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.

如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.

2平均变化率问题.

列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长

或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两

次.

(1)增长率问题：

平均增长率公式为n(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)

a(1x)b

(2)降低率问题：

平均降低率公式为n(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)

a(1x)b

3.利息问题

(1)概念：

本金：顾客存入银行的钱叫本金.

利息：银行付给顾客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期数：存入银行的时间叫期数.

利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.

(2)公式:

利息本金×利率×期数

利息税利息×税率

本金×(1+利率×期数)本息和

本金×[1+利率×期数×(1-税率)]本息和(收利息税时)

4.利润(销售)问题

利润(销售)问题中常用的等量关系：

利润售价-进价(成本)

总利润每件的利润×总件数

5.形积问题

此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根

据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.

要点诠释：

列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对

实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.

【典型例题】

类型一、数字问题

1．已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．

【答案与解析】

设其中一个数为x，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32，

整理得x-12x+32＝02

解得x＝4，x＝8，12

当x＝4时12-x＝8；

当x＝8时12-x＝4．

所以这两个数是4和8．

【总结升华】数的和、差、倍、分等关系，如果设一个数为x，那么另一个数便