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实数完备性基本定理的相互证明（30个）

摘要：这6个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互

等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。它们在证明过程中相互联系。对同一个定理的证明，

虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分，有的用的是类似的证明方法，有的出发点与站的角度不同，

但最后却都能殊途同归。而有时使用同一个定理，也可能有不同的方法。即使方法相同，还可以有不同的

细节。作为工具，它们又各具特点。而这些都是值得我们去注意与发现。

1确界原理非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。

2单调有界原理任何单调有界数列必有极限。

3区间套定理若{[a,b]}是一个区间套,则存在唯一一点，使得

nn

[a,b],n1,2,。

nn

4Heine-Borel有限覆盖定理设是一个闭区间，为上的一个开覆盖，则在

[a,b][a,b]

中存在有限个开区间，它构成[a,b]上的一个覆盖。

5Weierstrass聚点定理（Bolzano致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。）直线上的有

解无限点集至少有一个聚点。

{a}

6Cauchy收敛准则数列收敛对任给的正数，总存在某一个自然数，使得

N

n

m,nN时，都有|aman|。

一.确界原理

1.确界原理证明单调有界定理

证不妨设{an}为有上界的递增数列.由确界原理,数列{an}有上确界,记

a=sup{an}.下面证明a就是{an}的极限.事实上,任给ε0,按上确界的定

义,存在数列{an}中某一项aN,使得a-εaN.又由{an}的递增性,当n≥N

时有a-εaN≤an.

另一方面,由于a是{an}的一个上界,故对一切an都有an≤aa+ε.所以当

n≥N时有

a-εana+ε,

这就证得an=a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.

2.确界原理证明区间套定理

证明：１设［ａｎ，ｂｎ］是一个闭区间套，即满足：

１）∀ｎ，［ａｎ＋１，ｂｎ＋１］⊂［ａｎ，ｂｎ］；

２）ｂｎ－ａｎ＝

我们证明，存在唯一的实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）

存在性：令Ｓ＝｛ａｎ｝，显然，Ｓ非空且有上界（任一ｂｎ都是其上界）.据确界原理，Ｓ

有上确界，设supＳ＝ξ．现在，我们证明ζ属于每个闭区间［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，

⋯）显然

ａｎ≤ξ，（ｎ＝１，２，⋯）所以，我们只需证明对一切自然数ｎ，都有ξ≤ｂｎ．

事实上，因为对一切自然数ｎ，ｂｎ都是Ｓ的上界，而上确界是上界中最小者，因此必有

ξ≤ｂｎ

，故我们证明了存在一实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）



唯一性:假设还有另外一点R且[a,b]，则|||ab|0,